Komplexe Zahlen
Grundlagen zur Definition komplexer Zahlen
Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in die Grundlagen zum Rechnen mit komplexen Zahlen. Detailliertere Beschreibungen finden Sie in dem Kapitel über Komplexe Zahlen
Definition einer komplexen Zahl
Mit quadratische Gleichungen gibt es nicht immer eine (reelle) Lösung. Beispielsweise die Gleichung:
\(X^2 + 1=0\) oder eben \(X^2 = -1\)
Um unter anderem trotzdem mit Lösungen von solchen Gleichungen rechnen zu können, verwenden wir eine neue, die imaginäre Zahl. Bezeichnete wird diese mit dem Buchstaben \(i\).
Eine komplexe Zahl \(z\) besteht aus einem Realteil \(a\) und einem Imaginärteil \(b\). Der Imaginärteil wird mit dem Buchstaben \(i\) gekennzeichnet
\(z=a+bi\)
Die imaginäre Einheit \(i\) hat die Eigenschaft
\(z^2=-1\)
Dem Betrag einer komplexen Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene die Länge des Vektors \(z\)
Grafische Anzeige komplexer Zahlen
Um komplexe Zahlen grafisch zu interpretieren wird die Gaußschen Zahlenebene verwendet. Die Gaußschen Zahlenebene ist eine besondere Form eines normalen kartesischen Koordinatensystems. Der Unterschied liegt in der Bezeichnung der Achsen.
Auf der X-Achse der Gaußschen Zahlenebene wird der reelle Teil der komplexen Zahl angezeigt. Die Achse wird entsprechen reelle Achse genannt.
Auf der Y-Achse des Koordinatensystems wird auf der Gaußschen Zahlenebene der imaginäre Teil der komplexen Zahl angezeigt. Die Achse wird entsprechen imaginäre Achse genannt.
Das folgende Bild zeigt eine grafische Darstellung der komplexen Zahl \(3 + 4i\). Der Betrag \(z\) ist \(5\).
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