Pyramiden berechnen

Definition

In der Geometrie ist eine Pyramide ein Polyeder, das durch die Verbindung einer polygonalen Basis und eines Punktes, der sogenannten Spitze, entsteht. Jede Basiskante und jeder Scheitelpunkt bilden ein Dreieck, das als Seitenfläche bezeichnet wird. Es ist ein konischer Körper mit polygonaler Basis. Eine Pyramide mit einer n-seitigen Grundfläche hat n + 1 Eckpunkte, n + 1 Flächen und 2n Kanten.

Eigenschaften

• Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Polygon mit mindestens drei Kanten.
• Die Anzahl der Kanten der Grundfläche legt fest, wie viele Seitenflächen die Pyramide besitzt.
• Die Seiten einer Pyramide sind dreieckig. Sie verlaufen von den Grundflächen nach innen und treffen sich in der Spitze.
• Der Schwerpunkt der Pyramide teilt die Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grundfläche und der Spitze im Verhältnis 1 : 3.

Formeln

Die folgenden Formeln beziehen sich auf die Berechnung einer geraden viereckigen Pyramide

Seitenlänge der Basis

\(\displaystyle a=\sqrt{\frac{U}{4}}\)

Radius zu den Geraden

\(\displaystyle r_s=\sqrt{\frac{A}{2}}\)

Radius zu einer Ecke

\(\displaystyle r_v=\sqrt{(a/2)^2+{r_s}^2}\)

Umfang der Basis

\(\displaystyle U=4·a\)

Grundfläche

\(\displaystyle A=a^2\)

Höhe

\(\displaystyle h=\frac{3·V}{A} \) \(\displaystyle \ \ \ =\sqrt{m^2-{r_s}^2}\)

Mantelhöhe

\(\displaystyle m=\sqrt{h^2+{r_s}^2}\)

Kantenlänge

\(\displaystyle k=\sqrt{m^2+(a^2/4)}\)

Flächeninhalt einer Seite

\(\displaystyle M_1=\frac{m · a}{2}\)

Mantelfläche ohne Basis

\(\displaystyle M=\frac{m · P}{2}\)

Volumen

\(\displaystyle V=\frac{A · h}{3}\)

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