Theorem des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate ist. Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie ist immer gegenüber vom rechten Winkel.

Basierend auf diesem rechtwinkligen Dreieck können Sie eine Gleichung mit dem Satz des Pythagoras wie folgt schreiben:

\(\displaystyle c^2=a^2+b^2\)

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich ableiten, dass die Länge der Hypotenuse gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate ist, also

\(\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}\)

Dabei sind die Katheten a und b die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, und die Hypotenuse c die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite.

Durch die Umstellung der Gleichung kann aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte berechnet werden.

Beispiel

Berechnet wird ein Dreieck mit a = 3 und b = 4.

\(\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)

Dreiergruppen bei denen a, b und c jeweils ganze Zahlen sind werden pythagoreische Tripel genannt. Mehr Informationen dazu finden Sie unter Pythagoreisches-Tripel

Spezielle rechtwinklige Dreiecke

Zwei Arten von rechtwinkligen Dreiecken werden als spezielle rechtwinklige Dreiecke betrachtet. Eines der speziellen rechtwinkligen Dreiecke hat Winkel von 30°, 60° und 90°. Das andere spezielle rechtwinklige Dreieck hat Winkel, die 45°, 45° und 90° messen. Die Größe des Dreiecks spielt keine Rolle; es muss nur spezifische Maßnahmen für seine Winkel haben.

30°, 60° und 90° Dreiecke

Die Längen der Seiten eines \(30°, 60°, 90°\) Dreiecks stehen in einem Verhältnis von \(b=a·\sqrt{3}\)

Die Hypotenuse ist doppelt so lang wie die Seite \(a\), gegenüber dem \(30°\) Winkel.

Also ist \(\displaystyle a = \frac{c}{2}\)  und  \(\displaystyle b= \frac{c}{2}·\sqrt{3}\)

Mit diesen Informationen können Sie den Wert von a und b für das Dreieck bestimmen, wenn Ihnen der Wert von c bekannt ist.

45°, 45° und 90° Dreiecke

Die Seiten \(a\) eines \(45°, 45°, 90° \) Dreiecks sind gleich lang.

• Das Verhältnis der Seitenlängen zur Hypotenuse ist \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• Daraus ergibt sich \(\displaystyle a=\frac{c}{\sqrt{2}}\)

Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Sie können den Satz des Pythagoras für mehr verwenden, als Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu finden. Sie können auch den Satz des Pythagoras verwenden, um zu bestimmen, ob ein Dreieck scharf, rechts oder stumpf ist. Dies ist bekannt als Umkehrung des Satzes des Pythagoras, der wie folgt lautet:

• Wenn \(c^2 < a^2 + b^2\), dann ist das Dreieck spitz
  
  
• Wenn \(c^2 = a^2 + b^2\), dann ist das Dreieck rechtwinklig
  
  
• Wenn \(c^2 > a^2 + b^2\), dann ist das Dreieck stumpf