Rendite
Formeln zur Berechnung der Rendite von festverzinslichen Wertpapieren
Einfache (statische) Obligationenrendite
Für eine Periode
\(\displaystyle r=\frac{C}{P_0}\)
- \(C =\) Coupon (in Prozenten)
- \(P_0 =\) Kaufpreis
Für mehrere Perioden
\(\displaystyle r=\frac{C}{P_0}+\left(\frac{1}{n}·\frac{R-P_0}{P_0}\right)\)
- \(C =\) Coupon (in Prozenten)
- \(P_0 =\) Kaufpreis
- \(R =\) Rücknahmepreis
- \(n =\) (Rest-)Laufzeit
Barwertmodell
Jährliche Coupons
\(\displaystyle PV(A)=\left(C·\sum_{t-1}^n \frac{1}{(1+r_M)^t}\right) + \frac{R}{(1+r_M)^n}\)
- \(PV =\) Tagespreis (Present-Value)
- \(C =\) Coupon (in Prozenten)
- \(r_M =\) Marktzinssatz
- \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
- \(R =\) Rücknahmepreis
\(\displaystyle PV(A)=C·a_n+\frac{R}{q^n}\)
\(\displaystyle =C·\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{R}{q^n}\)
\(\displaystyle =C·\frac{1}{(1+r_M)^n}·\frac{(1+r_M)^n-1}{(1+r_M)-1}+\frac{R}{(1+r_M)^n}\)
- \(PV =\) Tagespreis (Present-Value)
- \(C =\) Coupon (in Prozenten)
- \(r_M =\) Marktzinssatz
- \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
- \(R =\) Rücknahmepreis
- \(a_n =\) Barwertfaktor nachschüssig
- \(q =\) Aufzinsungsfaktor
Mehrere Coupons jährlich
\(\displaystyle PV(A)=\sum_{t=1}^{n·m}\left(\frac{\frac{1}{m} · C_t}{\left(1+\frac{r_M}{m}\right)^t}\right)
+\frac{R}{\left(1+\frac{r_m}{m}\right)^{n-m}}\)
\(\displaystyle PV(A)=\frac{C_t}{m}·\frac{1}{q^{n·m}}·\frac{q^{n·m}-1}{q-1}+\frac{R}{q^{n·m}}\)
\(\displaystyle q=\sqrt[\large{X}]{1+\frac{r_M}{m}}\)
- \(PV =\) Barwert (Present-Value)
- \(C =\) Jahres-Coupon
- \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
- \(r_M =\) Marktzinssatz
- \(m =\) Anzahl Coupons pro Jahr
- \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
- \(R =\) Rücknahmepreis
- \(q = q_{konf}\)
- \(x =\) Anzahl Zahlungen in einer Zinsperiode
Barwert während der Laufzeit
\(\displaystyle PV_{Δt}(A) = \left(1+r_M\right)^{\large{\frac{Δt}{360}}}·PV(A)\)
- \(PV =\) Tagespreis (Present-Value)
- \(PV_{Δt} =\) Barwert während der Laufzeit
- \(r_M =\) Marktzinssatz
- \(Δt =\)Tage seit letzter Coupon-Zahlung
Endwert
\(\displaystyle FV(A) = \sum_{t=1}^n (C_t·(1+r_M)^{n-t})+R\)
- \(FV =\) Future Value (Endwert)
- \(C =\) Jahres-Coupon
- \(r_M =\) Marktzinssatz
- \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
- \(R =\) nom. Rückzahlungsbetrag
Rendite auf Verfall
Unmittelbar bei Cps-Verfall
\(\displaystyle P_0=C_t·\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{R}{q^n}\)
\(\displaystyle q=1+r_A\)
-
\(P_0 =\) Börsen- / Tagespreis
-
\(C_t =\) Jahres-Coupon
-
\(n =\) (Rest-)Laufzeit
-
\(R =\) Rücknahmepreis
-
\(r_A =\) Rendite (Effektivverzinsung)
Unterjährig, nicht per Verfalltag
\(\displaystyle P_T=(1+r_A)^{\large{\frac{Δt}{360}}}·P_0\)
\(\displaystyle P_T=q^{\large{\frac{Δt}{360}}}·
\left(C_t·\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{R}{q^n}\right)\)
\(\displaystyle q=1+r_A\)
-
\(P_T =\) Börsen- / Tagespreis
-
\(P_0 =\) Preis flat oder ex
-
\(C_t =\) Jahres-Coupon
-
\(n =\) (Rest-)Laufzeit aufgerundet
-
\(R =\) Rücknahmepreis
-
\(r_A =\) Rendite (Effektivverzinsung)
-
\(Δt =\) Tage seit letzter Coupon-Zahlung bis zum Erwerb
Marchzinsen
\(\displaystyle M=C_t· \frac{q^ {\large {\frac{Δt}{360}} } -1} {q-1} \)
\(\displaystyle q=1+r_A\)
oder
\(\displaystyle M=C_t·\frac{Δt}{360}\)
-
\(M =\) Marchzinsen
-
\(C_t =\) Jahres-Coupon
-
\(r_A =\) Rendite (Effektivverzinsung)
-
\(Δt =\) Tage seit der letzten Coupon-Zahlung bis zum Erwerb
Rendite auf mittlerem Verfall
Berechnung mittlerer Verfall
\(\displaystyle n=n_1 +\frac{n_2}{2}\)
-
\(n =\) mittlere Laufzeit
-
\(n1 =\) Anzahl Jahre bis 1. Auslosung
-
\(n2 =\) Anzahl Jahre von 1. Auslosung bis Rückzahlung
Bankenformel
\(\displaystyle r_A=\frac{C+\frac{P-P_t}{n}}{\frac{R+P_t}{2}}·100\)
-
\(r_A =\) Rendite(Effektivverzinsung)
-
\(P_T =\) Börsen-/Tagespreis
-
\(C =\) Jahres-Coupon
-
\(n =\) mittlere Laufzeit
-
\(R =\) Rücknahmepreis
Duration
Berechnung
\(\displaystyle D=\frac{\sum_{t=1}^n \left( \frac {\large{C_t}} {\large{(1+r_M)^t}} ·t \right) }{P_0} \)
-
\(D =\) Duration
-
\(P_0 =\) Börsen- / Tagespreis
-
\(C_t =\) Cash-Flows(Cps. oder Rückzahlung)
-
\(r_M =\) Marktzins oder, falls nicht vorhanden, Rendite auf Verfall
-
\(t =\) Dauer, z.T. auf Tage genau
Anwendung (als modified Duration)
\(\displaystyle ΔC≈\frac{-D}{1+r_A}·Δp_{real}\)
-
\(D =\) Duration
-
\(ΔC =\) Veränderung des Obligationen-Kurs (in %)
-
\(r_A =\) Rendite auf Verfall (in %)
-
\(Δp_{real}=\) Veränderung des Marktzinses (in %)