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Verschuldungsformen

Formeln zur Berechnung von Verschuldungsformen

Tutorium

Arten der Verschuldungsformen


Ohne Tilgung während der Laufzeit

Einmalige Schuld
Rückzahlung von Kapital und Zins am Ende der Laufzeit
Zinsschuld / - anleihe
Laufende Zinszahlung(z.B. jährlich) Rückzahlung des Kapitals am Ende der Laufzeit (z.B. Obligationen)

Mit Tilgung während der Laufzeit

Ratenschuld
konstante Tilgungs-Raten, Zinsen sind abnehmend
Annuitätenschuld
Raten sind konstant (Zins inkl. Tilgung), z.B. bei Kleinkrediten

Annuitätenanleihe (immer nachschüssig)


Tilgungsrate am Ende des 1. Jahres

\(\displaystyle T_1=\frac{K_0}{S_n}=\frac{K_0}{\frac{q^n-1}{q-1}}=\frac{K_0·(q-1)}{q^n-1}\)
  • \(T_1\) = 1. Tilgungsrate
  • \(n\) = Anzahl Tilgungsjahre
  • \(K_0\) = Kapital zu Beginn
  • \(s_n\) = Endwertfaktor nachschüssig
  • \(q\) = Aufzinsungsfaktor


Tilgungsrate am Ende des k-ten Jahres

\(\displaystyle T_k=T_1·q^{k-1}\)
  • \(T_k\) = Tilgungsrate Ende k-ten Jahr
  • \(T_1\) = 1. Tilgungsrate
  • \(q\) = Aufzinsungsfaktor (1+i)
  • \(k\) = ”Jahrzahl”


Unterjährige Verzinsung Formeln


Barwert \(K_0\)

\(\displaystyle K_0=T_1·s_n=T_1·\frac{q^n-1}{q-1}\)
  • \(T_1\) = 1. Tilgungsrate
  • \(n\) = Anzahl Tilgungsjahre
  • \(K_0\) = Kapital zu Beginn
  • \(s_n\) = Endwertfaktor nachschüssig


\(\displaystyle K_0=A·a_n=A·\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}\)
  • \(K_0\) = Kapital zu Beginn
  • \(n\) = Anzahl Jahre
  • \(A\) = Annuität
  • \(a_n\) = Barwertfaktor nachsch
  • \(q\) = Aufzinsungsfaktor (1+i)


Restschuld \(K_k\)

\(\displaystyle K_k=K_0-T_1·\frac{q_k-1}{q-1}=K_0-T_1·s_k\)
  • \(K_k\) = Restschuld Ende k-ten Jahr
  • \(K_0\) = Kapital zu Beginn
  • \(T_1\) = 1. Tilgungsrate
  • \(k\) = Anzahl der Jahre
  • \(s_k\) = Endwertfaktor nachschüssig


Restschuld \(K_k\) am Ende des k-ten Jahr

\(\displaystyle K_k=K_0·q^k-A·s_k

=K_0·q^k-A·\frac{q^k-1}{q-1}\)
  • \(A\) = Annuität
  • \(K_k\) = Restschuld Ende k-ten Jahr
  • \(K_0\) = Kapital zu Beginn
  • \(q\) = Aufzinsungsfaktor \((1+i)\)
  • \(k\) = Anzahl der Jahre
  • \(s_k\) = Endwertfaktor nachschüssig


\(\displaystyle K_k=A·\frac{1}{q^{n-k}}·\frac{q^{n-k}-1}{q-1}\)
  • \(K_k\) = Restschuld Ende k-ten Jahr
  • \(n-k\) = Restlaufzeit
  • \(A\) = Annuität
  • \(q\) = Aufzinsungsfaktor (1+i)


Annuität

\(\displaystyle A=\frac{K_0}{a_n} =\frac{K_0}{\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}}= \frac{K_0·q^n·(q-1)}{q^n-1}\)
  • \(K_0\) = Kapital zu Beginn
  • \(n\) = Anzahl Jahre
  • \(A\) = Annuität
  • \(a_n\) = Barwertfaktor nachschüssig
  • \(q\) = Aufzinsungsfaktor \((1+i)\)


Faktor q

\(\displaystyle q^n =\frac{A}{T_1}\)     \(\displaystyle q =\sqrt[\large{n}]{\frac{A}{T_1}}\)
  • A = Annuität
  • T1 = 1. Tilgungsrate
  • q = Aufzinsungsfaktor (1+i)
  • n = Anzahl Jahre


Laufzeit n

\(\displaystyle q^n=\frac{A}{T_1}\)      \(\displaystyle n=\frac{lg A - lg T_1}{lg q}\)
  • \(A\) = Annuität
  • \(T_1\) = 1. Tilgungsrate
  • \(q\) = Aufzinsungsfaktor \((1+i)\)
  • \(n\) = Anzahl Jahre