Gradient und Linien

Gradient einer Linie

Der Gradient eines Liniensegments ist ein Maß dafür, wie steil die Linie ist. Eine Linie mit einem großen Gradienten wird steil sein; eine Linie mit einem kleinen Gradienten wird relativ flach sein; und eine Linie mit einem Gradienten von Null wird horizontal sein.

Die nächste Abbildung zeigt drei Liniensegmente. Das Liniensegment \(AD\) ist steiler als das Liniensegment \(AC\). \(AC\) ist steiler als \(AB\), was horizontal ist. Die Steilheit wird mathematisch quantifiziert, indem die relativen Änderungen in \(x\) und \(y\) gemessen werden, wenn wir uns vom Anfang bis zum Ende des Liniensegments bewegen

Beim Segment \(AD\) ändert sich \(y\) von \(1\) auf \(5\), \(x\) ändert sich von \(1\) auf \(2\). Die Änderung in \(y\) ist also \(4\), und die Änderung in \(x\) ist \(1\). Die relative Änderung, der Gradient des Liniensegments, ist

\(\displaystyle \frac{Differenz\; Y}{Differenz\; X} =\frac{5-1}{2-1}=\frac{4}{1}=4\)

Linien, die steiler sind, haben einen größeren Gradienten als Linien, die weniger steil sind. Der Gradient der horizontalen Linien ist Null.

Der Gradient einer Linie ist gleich dem Tangens des Winkels, den die Linie mit der Horizontalen bildet. Dies ist auch der Tangens des Winkels, den die Linie mit der x-Achse bildet.

Parallele Linien

Wenden Sie die Kenntnis von Gradienten auf den Fall von parallelen Linien an. Wenn Linie \(1\) und Linie \(2\) zwei parallele Linien sind, dann sind die Winkel \(θ1\) und \(θ2\), die sie mit der x-Achse bilden gleich. Daher müssen parallele Linien den gleichen Gradienten haben

Die nächste Abbildung zeigt zwei parallele Linien mit dem Gradienten \(m = 1.333\).