Vektorraum

Beschreibung des Vektorraum


Vektorräume


Ein Vektorraum (auch als linearer Raum bezeichnet) ist eine Menge in der Vektoren enthalten sind, die gemeinsam addiert und mit Zahlen (Skalare genannt) multipliziert werden können.

Die Vektoren des Vektorraums müssen bestimmte Eigenschaften erfüllen, damit sie in einem Vektorraum zusammengefast werden können

  • Die Vektoren eines Vektorraums \(V\) müssen sich, wie unter Vektor Addition beschrieben, miteinander addieren lassen. Diese Summe ist wieder ein Vektor aus \(V\).

  • Ein Vektor muss sich mit einer reellen Zahl multiplizieren lassen Das Produkt ist wieder ein Vektor aus \(V\).

  • Für die Vektoren eines Vektorraums müssen die folgenden Rechenregeln anwendbar sein

    • \(x+y=y+x\)

    • \(c(x+y)=cx+cy\)

    • \(b(cx)=(bc)x\)

    • \((b+c)x=bx+cx\)

    • \(1·x=x\)

  • Jeder Vektorraum muss einen Nullvektor enthalten. Geschrieben wird \(0\) oder \(0V\). Für alle Vektoren \(x\) gilt \(x + 0 = x\)
  • Im Vektorraum gibt es für jeden Vektor \(x\) einen Vektor \(−x\). Es gilt \(x + (-x) = 0\).

Beispiele

Vektoraddition:

\(\left[\matrix{1\\2}\right] + \left[\matrix{3\\4}\right] = \left[\matrix{1+3\\2+4}\right]=\left[\matrix{4\\6}\right] \)

Skalarmultiplikation:

\(5·\left[\matrix{2\\5\\4}\right]=\left[\matrix{5· 2\\5·5\\5·4}\right]=\left[\matrix{10\\25\\20}\right]\)

Nullvektor:

\(\left[\matrix{0\\0\\0}\right]\)


Untervektorräume


Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum der, wie der Name schon vermuten lässt, in einen anderen Vektorraum eingebettet ist. Der Untervektorraum \(U\) eines Vektorraums \(V\) ist also die Teilmengen des gesamten Raums.

Nehmen wir als Beispiel die Teilmenge \(\left[\matrix{x\\y\\0}\right]\) wobei \(x\) und \(z\) beliebige reelle Zahlen sind. Diese Menge \(U\) besteht aus Vektoren eines dreidimensionalen Raums dessen dritten Koordinate \(0\) ist.


Diese Teilmenge erfüllt die Vektorraumbedingungen, die oben angegeben sind

  • Eine Addition führt nicht aus dieser Menge heraus, denn wenn Sie zwei Vektoren aus \(U\) addieren wird die Summe der dritten Koordinate wieder eine \(0\) und damit ein Element aus \(U\) sein.
  • Bei einer Skalarmultiplikation ist und bleibt auch in der dritten Koordinate ebenfalls eine \(0\).

Ein Untervektorraum ist also eine Teilmenge, die mit den Operationen des Ausgangsvektorraums konform ist.

Beispiel einer Berechnung im Verktorraum finden Sie hier.