Beschreibung mit Beispielen zur Berechnung der Polarform von komplexen Zahlen
In dem Artikel über die geometrische Darstellung komplexer Zahlen wurde beschrieben, dass sich jede komplexe Zahl \(z\) in der Gaußschen Zahlenebene als Vektor darstellen lässt. Dieser Vektor ist durch den Realteil und den Imaginärteils der komplexen Zahl \(z\) eindeutig festgelegt.
Ein vom Nullpunkt ausgehender Vektor lässt sich aber auch als Zeiger aufaßen. Dieser Zeiger ist eindeutig festgelegt durch seine Länge und dem Winkel\(φ\) zur reellen Achse.
Die folgende Abbildung zeigt den Vektor mit der Länge \(r = 2\) und dem Winkel \(φ = 45°\)
Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn gemessen, negative Winkel im Uhrzeigersinn.
Eine komplexe Zahl kann in der Polarform somit eindeutig durch das Paar \((|z|, φ)\) definiert werden. \(φ\) ist dabei der zum Vektor gehörende Winkel. Die Länge des Vektors \(r\) entspricht dem Betrag \(|z|\) der komplexen Zahl.
Man schreibt für Betrag und Argument von \(z \)
\(r = |z|\) und \(φ = arg(z)\)
Die allgemeine Schreibweise \(z = a + bi\) nennt man Normalform (im Gegensatz zu der oben beschriebenen Polarform).
Dieser Artikel beschreibt die Bestimmung der Polarkoordinaten einer komplexen Zahl durch die Berechnung des Winkel \(φ\) und die Länge des Vektors \(z\).
Der Radius \(r\) der Polarform ist identisch mit dem Betrag \(|z|\) der komplexen Zahl. Die Formel zur Berechnung des Radius ist folglich die gleiche die in dem Artikel Betrag einer komplexen Zahl beschrieben wurde.
Für die Länge \(r\) des Zeigers ergibt sich
\(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{Re^2+Im^2}\)
Wenn sich der Vektor im 1. oder 2. Quadranten befindet gilt für den Winkel \(φ\)
\(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{a}{r}\right)=arccos\left(\frac{Re}{|z|}\right)\)
oder sonst
\(\displaystyle φ=arctan\left(\frac{b}{a}\right)=arctan\left(\frac{Im}{Re}\right)\)
Bei der Berechnung des Winkels muss berücksichtigt werden in welchem Quadranten sich der Vektor befindet. Betrachten wir dazu die folgende Abbildung:
Für die komplexe Zahl \(3 + 4i\) in der Abbildung oben ist der Betrag
\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
Der Winkel ist
\(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{Re}{|z|}\right)=arccos\left(\frac{3}{5}\right)=53.1°\)
Für die komplexe Zahl \(3 - 4i\) ist der Betrag auch
\(|z|=\sqrt{3^2-4^2}=5\)
Die Berechnung des Winkels ergibt ebenfalls \(53.1°\). In diesem Fall muss zu dem berechneten Winkel noch \(180°\) hinzu addiert werden um in den richtigen Quadranten zu gelangen.
Nach der Berechnung des Winkels \(φ\) mit Hilfe des Arcussinus muss immer eine Prüfung des Quadranten durchgeführt werden. Bei einer negativen imaginären Einheit muss der Winkel korrigiert werden.
Für eine komplexe Zahl \(a + bi\) gilt
Wenn \(b ≥ 0\) ist \(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{a}{|z|}\right)\)
Wenn \(b < 0\) ist \(\displaystyle φ= 360 - arccos\left(\frac{a}{|z|}\right)\)
oder \(\displaystyle φ= 2π - arccos\left(\frac{a}{|z|}\right)\) wenn in Radiant gerechnet wird
In den Rechnungen oben wird der Winkel zwischen \(0°\) und \(360°\) als Winkel \(φ\) zur reellen Achse angegeben. Der Winkel kann auch zwischen \(0°\) und \(± 180°\) angegeben werden.
\(Arg (3 + 4i) = 53.1\)
\(Arg (3 − 4i) = −53.1\)
\(Arg (−3 + 4i)=127\)
\(Arg (−3 − 4i)=−127\)
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