Komplexe Zahlen

Einführung

Warum komplexe Zahlen?

Im Artikel natürliche bis reelle Zahlen ist die Erweiterung von natürlichen zu ganzen Zahlen beschrieben, die wiederum zu rationalen und dann zu reellen Zahlen erweitert wurden. Viele Aufgaben konnten erst mit reellen Zahlen gelöst werden.

Aber auch mit den reellen Zahlen lassen sich nicht alle Aufgaben lösen. Beispielsweise die Gleichung

\(x^2+1=0\) oder \(x^2 = -1\)

Die Gleichung ist mit reellen Zahlen nicht lösbar, weil das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist.

Solche Gleichungen können trotzdem berechnet werden. Dazu muss den Bereich der reellen Zahlen nun so erweitert werden, dass die Gleichung lösbar ist. Zur Lösung solcher Gleichungen aber auch anderer mathematischer Probleme wurden die komplexe Zahlen eingeführt.

Eine komplexe Zahl \(z\) besteht aus einem Realteil \(a\) und einem Imaginärteil \(b\). Der Imaginärteil wird mit dem Buchstaben \(i\) gekennzeichnet.

\(z=a+bi\)

Bei dem Realteil und dem Imaginärteil handelt es sich um reelle Zahlen.

Die imaginäre Einheit \(i\)

In der Einführung wurde schon festgestellt, dass die Gleichung \(x^2 = -1\) mit der Menge der reellen Zahlen nicht lösbar ist, weil das Quadrat einer reellen Zahl ungleich null ist immer positiv ist. Deshalb müssen wir den Bereich der reellen Zahlen nun so erweitern, dass die Gleichung lösbar ist.

Dazu brauchen wir eine neue Zahl, welche die Gleichung lösbar macht. Diese neue Zahl wird imaginäre Einheit genannt und ist mit dem Symbol \(i\) bezeichnet. Sie hat die Eigenschaft, dass sie mit sich selbst multipliziert \(-1\) ergibt:

\(i·i = -1\)

Was kann man sich nun unter \(i\) vorstellen? Sicher ist \(i\) keine reelle Zahl, denn das Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ. Es gilt aber \(i^2 = -1\), denn die Forderung war ja eine Lösung der Gleichung \(x^2 = -1\). Obwohl noch nicht klar ist, wie \(i\) aussieht, können wir aber bereits mit \(i\) rechnen.

Die Rechenregeln der reellen Zahlen sollen auch bei komplexen Zahlen weiter gültig sein. Dieses nennt man Permanenz Prinzip. Also können wir auch \(i^3\) berechnen:

\(i^3 = i^2 · i = (-1) · i = -i\)

Komplexe Zahlen

Was ist eine komplexe Zahl? Das Wort komplex ist vom lateinischen Wort complexus = verflochten abgeleitet. Eine komplexe Zahl ist die Verbindung der imaginären Einheit \(i\) mit einer reellen Zahl.

Beispiele komplexer Zahlen

\(1 + 3i\),       \(-1 + 3i\),       \(2-3i\),       \(2^2 – 5^2 i\)

Die Zahlen sind alle zusammengesetzt aus einem reellen Anteil und einem imaginären Anteil. Bei \(1 + 3i\) ist das beispielsweise die reelle Zahl \(1\) und der imaginäre Anteil \(3i\).

Das \(+\) Zeichen in \(1 + 3i\) ist Teil der komplexen Zahl. Es wird später auch als Additionszeichen angesehen. Der Teil \(3i\) wird als \(3 · i\) verstanden, schließlich sollen auch die Rechenregeln der reellen Zahlen für die Zahlen \(3\) und \(i\) weiterhin gültig sein.

Eine komplexe Zahl ist definiert als

\(z = a + bi\)

Dieser Begriff ist eine komplexe Zahl. \(a\) und \(b\) sind reelle Zahlen und das \(i\) steht für die imaginäre Einheit

Eine andere Schreibweise für komplexe Zahlen ist die Paarschreibweise: Der Real- und Imaginärteil wird dabei als Zahlenpaar geschrieben

\(z = (Re, Im)\)

Für \(z = 2 + 3i\) wäre das also \(z = (2, 3)\). Für die reelle Zahl \(5\) wäre die Paarschreibweise \(z = (5, 0)\)  und für \(2i\) schreibt man \(z = (0, 2)\).

Begriffe komplexer Zahlen

Als Beispiel nehmen wir die komplexe Zahl \(2 - 5i\). Die komplexe Zahl \(2 - 5i\) ist durch die reellen Zahlen \(2\) und \(-5\) eindeutig festgelegt. Allgemeiner formuliert ist jede komplexe Zahl \(a + bi\) durch die reellen Zahlen \(a\) und \(b\) eindeutig festgelegt.

Um komplexe Zahlen auf diese Art zu beschreiben, führten wir zwei neue Begriffe ein

Unter dem \(Realteil\) einer komplexen Zahl versteht man den rein reellen Anteil der Zahl. Der Realteil der komplexen Zahl \(2 - 5i\) ist also \(2\). Man schreibt auch \(Re (2 - 5i) = 2\).

Unter dem Imaginärteil einer komplexen Zahl versteht man den Teil der Zahl, der vor der imaginären Einheit \(i\) steht. Der Imaginärteil der komplexen Zahl \(2 - 5i\) ist also \(-5\). Man schreibt auch \(Im (2 - 5i\) = -5.

Beachten Sie, dass der Imaginärteil von \(2 – 5i\) die reelle Zahl \(-5\) ist. Er ist nicht gleich mit dem imaginären Anteil der Zahl \(2 – 5i\). Der imaginäre Anteil ist nämlich \(-5i\).

Zusammenfassung

Eine komplexe Zahl ist definiert als \(z=a+bi\), wobei \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind

Der Realteil von \(z\) heißt \(a\); man schreibt \(a = Re (z)\)

Der Imaginärteil von \(z\) heißt \(b\) Man schreibt \(b = Im (z)\)

Komplexe Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen

Wie die Erweiterung von natürlichen zu ganzen Zahlen, die wiederum zu rationalen und dann zu reellen Zahlen erweitert wurden, sind komplexe Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen. Reelle Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Eine reelle Zahl ist identisch mit einer komplexen Zahl mit dem Imaginärteil \(0\).

Da eine komplexe Zahl aus einem Zahlenpaar \(Re\) und \(Im\) besteht, lässt sie sich weder wie reelle Zahlen auf einem Zahlenstrahl darstellen noch lassen sich komplexe Zahlen miteinander vergleichen als \(größer\, als\), oder \(kleiner\, als\).

Aufgrund des Zahlenpaares kann man komplexe Zahlen jedoch in einem speziellen Koordinatensystem - einer komplexen Ebene, der Gaußsche Zahlenebene - darstellen. Der Realteil entspricht hierbei der x-Koordinate, der Imaginärteil der y-Koordinate. Lesen sie dazu mehr in dem Artikel über die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.