Determinante einer Matrix

Berechnung der Determinante von Matrizen mit Beispielen

Determinante einer Matrix

Die Determinante ist eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Elementen berechnet werden kann. Sie ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme.

Die Determinante einer 2 x 2 Matrix wird berechnet als

\(\displaystyle det \left[ \matrix {a & b \\ c & d} \right] = \left|\matrix {a & b \\ c & d} \right| = (ad - bc) \)

Beachten Sie die alternative Notation, die verwendet wird um eine Determinante anzugeben; vertikale Balken anstelle von Klammern, wie sie für eine Matrix verwendet werden.


Für eine 3 × 3-Matrix wird die Determinante gefunden, indem sie in drei 2 × 2-Determinanten expandiert wird. Man nimmt die Elemente jeder Zeile, multipliziert sie jeweils mit der Determinante, die übrig bleibt, wenn man die Zeile und die Spalte löscht, zu der das Element gehört, und addiere diese, während die arithmetischen Zeichen alternieren

\(\displaystyle det \left[\matrix{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}\right]\) \(= a\left|\matrix{e&f \\h&i}\right|-b\left|\matrix{d&f\\g&i}\right|\) \(+ c\left|\matrix{d&e\\g&h}\right|\)\(=aei-ahf-bdi+gbf+cdh-gec\)

Für eine 4 x 4 Matrix wird dasselbe Verfahren angewendet

\(\displaystyle det \left[\matrix{ a&b&c&d \\ e&f&g&h \\i&j&k&l \\ m&n&o&p}\right]\) \(=a\left|\matrix{f&g&h \\ j&k&l\\ n&o&p}\right|\,-e\left|\matrix{b&c&d \\ j&k&l \\ n&o&p}\right|\) \(\,\,+i\left|\matrix{b&c&d\\f&g&h&\\n&o&p}\right|-m\left|\matrix{b&c&d&\\f&g&h\\j&k&l}\right|\)

Die 2 × 2-Subdeterminanten für die 3 × 3-Hauptdeterminante, oder die vier 3 × 3-Determinanten für die 4 × 4-Hauptdeterminante werden als \(\text{Unterdeterminante}\) bezeichnet. Zum Beispiel wird die erste von ihnen als \(\text{Unterdeterminante von a}\) bezeichnet. Beachten Sie, dass die Zeichen vor jedem Begriff zwischen positiv und negativ wechseln und immer mit einem positiven Vorzeichen für das \(a_{11}\)-Element beginnen.


Eigenschaften von Determinanten

Eine 2 x 2 Determinante ist eine Summe von zweifachen Produkten und eine 3 x 3 Determinante eine Summe von dreifachen Produkten.

Wenn alle Subdeterminanten bei der Ausarbeitung einer großen Determinante vereinfacht sind, wiederholen wir den Vorgang so oft wie nötig, da die Subdeterminanten in jeder Runde kleiner werden. Wenn alle Determinanten eliminiert sind, bleibt uns eine Summe von Termen übrig.

Für eine n-dimensionale Determinante besteht jeder Term in der Summe aus einem Produkt von n Elementen der Matrix. Jeder von diesen kommt aus einer anderen (Reihe, Spalte) Kombination.

Eine Reihe von Eigenschaften folgt aus vollständig expandierenden Determinanten

  • Der Austausch von zwei Zeilen oder Spalten führt zu einem Vorzeichenwechsel der Determinante

    \(det\left[\matrix{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}\right]=aei-ahf-bdi+bgf+cdh-gec\)

    \(det\left[\matrix{a&b&c\\g&h&i\\d&e&f}\right]=ahf-aei-bgf+bdi+gec-cdh\)

  • Das Multiplizieren einer Zeile oder Spalte mit einer skalaren Konstante ist das gleiche wie das Multiplizieren der Determinante mit dieser Konstante.

  • Wenn zwei Zeilen oder Spalten gleich sind, ist die Determinante Null.

  • Das Hinzufügen eines Vielfachen einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte ändert die Determinante nicht.


Singuläre Matrix

Eine Matrix ist singulär, wenn die Determinante Null ist. Aus den Eigenschaften der Determinanten oben, können wir folgen der Wert der Determinante ist 0, wenn eine der folgenden Aussagen zutrifft.

  • Alle Elemente einer Zeile oder Spalte sind null

  • Zwei Zeilen oder Spalten sind identisch

  • Zwei Zeilen oder Spalten sind proportional


Determinante von Dreiecksmatrizen

Für eine Dreiecksmatrix ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente.

Im Fall einer Dreiecksmatrix sind alle Terme der Determinante gleich null außer \(aei\), weil die Elemente \(d\), \(g\) und \(h\) gleich Null sind. Deshalb ist die Determinante das Produkt von \(aei\).

\(\displaystyle det\left[\matrix{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}\right]=aei-ahf-bdi+bgf+cdh-gec\)


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