Beschreibung und Beispiele zur Matrizen Spiegelung und Scherung
Geometrische Operationen, wie das Drehen eines Positionsvektors um einen bestimmten Winkel um eine Achse, können durch Multiplizieren des Vektors mit einer geeigneten Matrix erreicht werden. Diese Seite beschreibt, wie solche Matrizen konstruiert werden.
Betrachten wird einen Punkt \(P\) mit den Koordinaten \((x, y)\) in einem zweidimensionalen Raum.
Im zweidimensionalen Raum zeichnen wir den Vektor \(\displaystyle \left[\matrix{x \\y}\right]\) als
Die folgende Matrix erzeugt eine Spiegelung des Vektors über die X-Achse
\(\displaystyle \left[\matrix{1 & 0\\0 & -1}\right]\)
daraus ergibt sich die Formel
\(\displaystyle \left[\matrix{x'\\y'}\right] = \left[\matrix{1 & 0\\0 & -1}\right] · \left[\matrix{x\\y}\right] =\left[\matrix{x\\-y}\right] \)
Eine 3-dimensinale Spiegelung der Y-Position wird mit der folgenden Formel erreicht
\(\displaystyle \left[\matrix{x'\\y'\\z'}\right] = \left[\matrix{1 & 0&0 \\ 0 & -1&0 \\ 0 & 0 &1}\right] · \left[\matrix{x \\ y \\ z}\right] =\left[\matrix{x \\ -y \\ z}\right] \)
Um Reflexionen in der X- oder Z-Ebene zu erzeugen, setzen Sie ein negatives Vorzeichen auf die entsprechenden diagonalen Elemente der Einheitsmatrix.
Das Einfügen eines Elements ungleich Null in eine Position außerhalb der Diagonalen der Einheitsmatrix erzeugt eine Scherverzerrung des Positionsvektors.
\(\displaystyle \left[\matrix{1 & 1.5\\ 0 &1}\right] · \left[\matrix{x\\y}\right]\) entspricht \(\displaystyle \left[\matrix{x'\\y'}\right] =\left[\matrix{1 &1.5\\0 & 1}\right] · \left[\matrix{4\\3}\right]= \left[\matrix{8.5\\3}\right] \)
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