Kovarianz

Formeln, Herleitung und praktische Beispiele zur Kovarianz zweier Variablen

Die Kovarianz ist ein nichtstandardisiertes Maß für den linearen Zusammenhang (die gemeinsame Variabilität) zwischen zwei statistischen Variablen. Sie zeigt, ob und wie stark zwei Variablen gemeinsam variieren — ob sie sich also in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung bewegen.

Eine positive Kovarianz bedeutet, dass die beiden Variablen tendenziell zusammen zunehmen oder abnehmen. Eine negative Kovarianz bedeutet, dass eine Variable zunimmt, während die andere abnimmt. Eine Kovarianz von Null deutet darauf hin, dass es keinen linearen Zusammenhang gibt.

Es gibt zwei Formen der Kovarianz: Die empirische Kovarianz für Stichproben (geteilt durch \(n-1\)) und die Populationskovarianz (geteilt durch \(n\)).

Grundkonzept der Kovarianz

Die Kovarianz misst, wie zwei Variablen gemeinsam von ihren Mittelwerten abweichen. Im Gegensatz zur Korrelation ist sie nicht normalisiert und wird daher von den Einheiten der ursprünglichen Variablen beeinflusst.

  • Positive Kovarianz: Variablen bewegen sich in die gleiche Richtung
  • Negative Kovarianz: Variablen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen
  • Null Kovarianz: Keine linearen Zusammenhang erkennbar
  • Abhängig von Einheiten: Kovarianz ist nicht standardisiert
  • Basis für Korrelation: Korrelation = normalisierte Kovarianz
Unterschied zur Korrelation:

Während die Kovarianz die Richtung und Größe des Zusammenhangs anzeigt, ist sie von den Einheiten abhängig. Die Korrelation ist eine normalisierte Version (zwischen -1 und +1) und damit einheitsunabhängig.

Formeln der Kovarianz

Empirische Kovarianz (Stichprobe)

Wenn Sie mit einer Stichprobe arbeiten, verwenden Sie \(n-1\) im Nenner:

\(\displaystyle \text{cov}(x,y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})\)

Populationskovarianz (Gesamtmenge)

Für die gesamte Population verwenden Sie \(n\) im Nenner:

\(\displaystyle \text{cov}(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})\)

Bedeutung der Symbole

  • \(\text{cov}(x,y)\): Kovarianz von x und y
  • \(n\): Anzahl der Datenpunkte
  • \(x_i, y_i\): Einzelne Werte der Variablen x und y
  • \(\overline{x}, \overline{y}\): Mittelwerte der Variablen x und y
  • \(n-1\): Freiheitsgrade für Stichprobe (Bessel-Korrektur)

Verständnis der Formel

Die Kovarianzformel basiert auf der Idee der gemeinsamen Abweichungen:

  1. Abweichungen berechnen: Für jeden Punkt berechnen Sie \((x_i - \overline{x})\) und \((y_i - \overline{y})\)
  2. Produkte bilden: Multiplizieren Sie die Abweichungen: \((x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})\)
  3. Summieren: Addieren Sie alle Produkte
  4. Normalisieren: Teilen Sie durch \(n-1\) (Stichprobe) oder \(n\) (Population)
Interpretation der Produkte
  • Positives Produkt: Beide Variablen weichen in die gleiche Richtung ab
  • Negatives Produkt: Variablen weichen in entgegengesetzte Richtungen ab
  • Null Produkt: Mindestens eine Variable weicht nicht vom Mittelwert ab

Praktisches Beispiel: Schritt-für-Schritt

Angenommen, eine Werkstatt möchte den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Tischler und der Anzahl der produzierten Stühle pro Tag untersuchen.

Schritt 1: Datensatz vorbereiten

Daten erfassen
Tischler (x): 3, 5, 7
Stühle (y): 10, 16, 22
Stichprobengröße: \(n = 3\)

Schritt 2: Mittelwerte berechnen

Arithmetische Mittel
Mittelwert von x:
\(\displaystyle \overline{x} = \frac{3+5+7}{3} = \frac{15}{3} = 5\)
Mittelwert von y:
\(\displaystyle \overline{y} = \frac{10+16+22}{3} = \frac{48}{3} = 16\)

Schritt 3: Abweichungen berechnen

Abweichungen von den Mittelwerten
Für Punkt 1:
\(\displaystyle (x_1 - \overline{x}) = 3 - 5 = -2 \quad ; \) \(\displaystyle \quad (y_1 - \overline{y}) = 10 - 16 = -6\)
Für Punkt 2:
\(\displaystyle (x_2 - \overline{x}) = 5 - 5 = 0 \quad ; \) \(\displaystyle \quad (y_2 - \overline{y}) = 16 - 16 = 0\)
Für Punkt 3:
\(\displaystyle (x_3 - \overline{x}) = 7 - 5 = 2 \quad ; \) \(\displaystyle \quad (y_3 - \overline{y}) = 22 - 16 = 6\)

Schritt 4: Produkte berechnen

Produkte der Abweichungen
Punkt 1:
\(\displaystyle (-2) \cdot (-6) = 12\)
Punkt 2:
\(\displaystyle 0 \cdot 0 = 0\)
Punkt 3:
\(\displaystyle 2 \cdot 6 = 12\)

Schritt 5: Empirische Kovarianz berechnen

Abschließende Berechnung
Summe der Produkte:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{3} (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) \) \(\displaystyle = 12 + 0 + 12 = 24\)
Empirische Kovarianz (Stichprobe):
\(\displaystyle \text{cov}(x,y) = \frac{24}{3-1} = \frac{24}{2} = \color{blue}{12}\)
Populationskovarianz (Falls n=N):
\(\displaystyle \text{cov}(x,y) = \frac{24}{3} = \color{blue}{8}\)
Interpretation: Eine Kovarianz von 12 (Stichprobe) oder 8 (Population) zeigt einen starken positiven Zusammenhang: Je mehr Tischler arbeiten, desto mehr Stühle werden produziert.

Eigenschaften der Kovarianz

  • Symmetrisch: \(\text{cov}(x,y) = \text{cov}(y,x)\)
  • Mit sich selbst: \(\text{cov}(x,x) = \text{Varianz}(x)\)
  • Einheitsabhängig: Ändert sich mit den Einheiten der Daten
  • Lineares Maß: Erfasst nur lineare Zusammenhänge
  • Kann unbegrenzt sein: Keine obere oder untere Grenze wie Korrelation

Anwendungen der Kovarianz

  • Portfolioanalyse: Risikoanalyse bei Investitionen
  • Multivariate Statistik: Kovarianzmatrix in Regressionsanalyse
  • Korrelation berechnen: Korrelation = Kovarianz normalisiert
  • Lineare Regression: Bestimmung von Regressionskoeffizienten
  • Faktorenanalyse: Untersuchen von gemeinsamen Variabilitäten
  • Qualitätskontrolle: Analyse von zusammenhängenden Variablen
Wichtige Warnung:

Kovarianz zeigt nur lineare Zusammenhänge. Nichtlineare Beziehungen werden nicht erfasst. Verwenden Sie immer Streudiagramme zur visuellen Überprüfung und beachten Sie, dass Korrelation nicht Kausalität impliziert.

Kovarianz vs. Korrelation

Obwohl eng verwandt, haben Kovarianz und Korrelation wichtige Unterschiede:

Merkmal Kovarianz Korrelation
Einheiten Abhängig von den Originaleinheiten Dimensionslos (-1 bis +1)
Interpretation Absolute Stärke und Richtung Standardisierte Stärke und Richtung
Bereichs \(-\infty\) bis \(+\infty\) -1 bis +1
Vergleichbarkeit Unterschiedliche Einheiten schwer vergleichbar Leicht über verschiedene Datensätze vergleichbar
\(\displaystyle \text{Korrelation}(x,y) = \frac{\text{cov}(x,y)}{SD_x \cdot SD_y}\)

Tipps und häufige Fehler

Hilfreiche Tipps:
  • Immer plotten: Erstellen Sie ein Streudiagramm der Daten
  • Nenner beachten: \(n-1\) für Stichprobe, \(n\) für Population
  • Einheiten nicht vergessen: Die Kovarianz hat kombinierte Einheiten
  • Normalisieren für Vergleiche: Verwenden Sie Korrelation für Vergleiche
  • Ausreißer prüfen: Extreme Werte beeinflussen Kovarianz stark
Häufige Fehler:
  • FALSCH: Nenner als \(n\) für Stichprobe verwenden | RICHTIG: Verwenden Sie \(n-1\)
  • FALSCH: Kovarianz als Korrelation interpretieren | RICHTIG: Normalisieren Sie für Vergleiche
  • FALSCH: Kausalität aus Kovarianz ableiten | RICHTIG: Nur Zusammenhang, keine Ursache-Wirkung
  • FALSCH: Nichtlineare Beziehungen ignorieren | RICHTIG: Visuelle Überprüfung durchführen
  • FALSCH: Nur Vorzeichen beachten | RICHTIG: Magnitude und Einheiten berücksichtigen

Online-Rechner und Tools

Um die Kovarianz schnell zu berechnen:



Arithmetisches Mittel (Durchschnitt) • Five Number • Median • Empirische Verteilungsfunktion • Geometrisches Mittel • Gepoolte Standardabweichung • Gepoolte Varianz • Harmonisches Mittel • Kontraharmonisches Mittel • Kovarianz



















Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?