Dekadischer Logarithmus komplexer Zahlen

Berechnung von \(\log_{10}(z)\) - Logarithmus zur Basis 10

Log₁₀-Rechner

Dekadischer Logarithmus \(\log_{10}(z)\)

Der dekadische Logarithmus (Basis 10) einer komplexen Zahl wird durch Umrechnung des natürlichen Logarithmus berechnet: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\)

Komplexe Zahl z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnis
\(\log_{10}(z)\) =
Umrechnung: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)} = \frac{\ln(z)}{2.302585}\)

Log₁₀ - Eigenschaften

Basisumrechnung
\[\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\]

Umrechnung vom natürlichen zum dekadischen Logarithmus

Formel
\[\log_{10}(z) = \frac{\log_{10}|z| + i\arg(z)}{\ln(10)}\]
Basis 10
ln(10) ≈ 2.303
Wichtige Eigenschaften
  • \(\log_{10}(z_1 \cdot z_2) = \log_{10}(z_1) + \log_{10}(z_2)\)
  • \(\log_{10}(z_1 / z_2) = \log_{10}(z_1) - \log_{10}(z_2)\)
  • \(\log_{10}(z^n) = n\log_{10}(z)\)
  • \(10^{\log_{10}(z)} = z\)
Spezialwerte
  • \(\log_{10}(10) = 1\)
  • \(\log_{10}(100) = 2\)
  • \(\log_{10}(1000) = 3\)
  • \(\log_{10}(1) = 0\)
  • \(\log_{10}(0.1) = -1\)
Umrechnung

Von ln zu log₁₀: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{2.302585}\)
Von log₁₀ zu ln: \(\ln(z) = 2.302585 \cdot \log_{10}(z)\)

Formeln zum dekadischen Logarithmus

Der dekadische Logarithmus (Basis 10) einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) wird durch Umrechnung des natürlichen Logarithmus berechnet.

Basisumrechnung
\[\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\]

Mit \(\ln(10) \approx 2.302585\)

Ausführliche Form
\[\log_{10}(z) = \frac{\ln|z| + i\arg(z)}{\ln(10)}\]

Mit Real- und Imaginärteil getrennt

Berechnungsbeispiel

Berechnung: \(\log_{10}(100 + 0i)\) und \(\log_{10}(3 + 4i)\)
Beispiel 1: Reelle Zahl \(\log_{10}(100)\)

Gegeben: \(z = 100 + 0i\)

Berechnung:

\(\log_{10}(100) = \frac{\ln(100)}{\ln(10)}\)

\(= \frac{4.605}{2.303} = 2\)

Ergebnis: \(2 + 0i\)

Wie im Reellen: \(10^2 = 100\) ✓

Weitere Beispiele

\(\log_{10}(10) = 1\)

\(\log_{10}(1000) = 3\)

\(\log_{10}(1) = 0\)

\(\log_{10}(0.1) = -1\)

Beispiel 2: Komplexe Zahl \(\log_{10}(3+4i)\)

Schritt 1: Natürlicher Logarithmus

\(|z| = \sqrt{3^2+4^2} = 5\)

\(\arg(z) = \arctan(4/3) \approx 0.927\) rad

\(\ln(z) = \ln(5) + 0.927i \approx 1.609 + 0.927i\)

Schritt 2: Umrechnung auf Basis 10

\(\log_{10}(z) = \frac{1.609 + 0.927i}{2.303}\)

Ergebnis: \(0.699 + 0.403i\)

Verifikation

Probe: \(10^{0.699+0.403i}\)
\(= 10^{0.699} \cdot 10^{0.403i}\)
\(= 5.0 \cdot (\cos(0.927) + i\sin(0.927))\)
\(\approx 3.0 + 4.0i\) ✓

Komponentenweise Berechnung
Realteil:
\[\text{Re}(\log_{10}(z)) = \frac{\ln|z|}{\ln(10)} = \frac{\frac{1}{2}\ln(a^2+b^2)}{\ln(10)}\]
Imaginärteil:
\[\text{Im}(\log_{10}(z)) = \frac{\arg(z)}{\ln(10)} = \frac{\arctan(b/a)}{\ln(10)}\]

Vergleich: log₁₀ vs. ln vs. log₂

Natürlicher Logarithmus (ln)

Basis: \(e \approx 2.718\)

Formel: \(\ln(z)\)

Anwendung: Analysis, Mathematik

Beispiel: \(\ln(e) = 1\)

Dekadischer Logarithmus (log₁₀)

Basis: \(10\)

Formel: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\)

Anwendung: Physik, Technik, pH-Wert

Beispiel: \(\log_{10}(100) = 2\)

Binärer Logarithmus (log₂)

Basis: \(2\)

Formel: \(\log_2(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(2)}\)

Anwendung: Informatik, Bits

Beispiel: \(\log_2(8) = 3\)

Umrechnungsfaktoren

\(\ln(10) \approx 2.303\)

Faktor für ln → log₁₀

\(\ln(2) \approx 0.693\)

Faktor für ln → log₂

\(\frac{\ln(10)}{\ln(2)} \approx 3.322\)

Faktor für log₂ → log₁₀

Anwendungen des dekadischen Logarithmus

Naturwissenschaften

  • pH-Wert: \(\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]\)
  • Dezibel (dB): \(L = 20\log_{10}\left(\frac{p}{p_0}\right)\)
  • Richterskala: Erdbebenstärke
  • Sternhelligkeit: Magnitude

Technik

  • Bode-Diagramm: Verstärkung in dB
  • Signalverarbeitung: Dynamikbereich
  • Akustik: Schalldruckpegel
  • Elektrotechnik: Dämpfung und Verstärkung

Praktische Beispiele

Beispiel: pH-Wert

Wenn \([\text{H}^+] = 10^{-7}\) mol/L
\(\text{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = 7\) (neutral)

Beispiel: Dezibel

Verstärkung um Faktor 100:
\(20\log_{10}(100) = 20 \cdot 2 = 40\) dB

Beispiel: Richterskala

Magnitude 5 ist 10-mal stärker als Magnitude 4:
\(\log_{10}(10) = 1\) Einheit Unterschied

Wichtiger Hinweis

Notation: In vielen Taschenrechnern und Programmiersprachen wird "\(\log\)" für \(\log_{10}\) verwendet, während "\(\ln\)" für den natürlichen Logarithmus steht. In der Mathematik bezeichnet "\(\log\)" oft den natürlichen Logarithmus!


Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye