Beschreibung der Definition von Matrizen mit Beispielen
Eine Matrix (Plural Matrizen) ist eine Gruppe von mathematischen Objekten in einer rechteckigen Anordnung, wie in der Abbildung unten. Mit Matrizen kann in bestimmter Weise gerechnet werden. Zum Beispiel indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert. Diesem Artikel gibt zunächst einen Überblick über die verschieden Matrizen Typen. Grundsätzlich gilt:
Die Dimensionen der Matrix werden \(p\) und \(q\) genannt
Eine \(p · q\) - Matrix hat \(p\) Zeilen und \(q\) Spalten
Die Position eines Elementes wird mit einem doppelten Index gekennzeichnet. Bei dem Begriff \(a_{ij}\) bezeichnet \(i\) den Index der Zeile und \(j\) den Index der Spalte einer Matrix
Eine Quadratische Matrix nennt man Matrizen, die eine gleiche Anzahl Spalten und Zeilen haben.
\(\displaystyle A=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i\end{bmatrix}\)
Eine Diagonale Matrix ist quadratisch und alle nicht-diagonalen Elementen sind Null.
\(\displaystyle D=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}\)
Eine Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix deren Hauptdiagonale mit Einsen gefüllt ist. Alle anderen Elemente sind null.
\(\displaystyle I=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Eine Nullmatrix ist eine Matrix, in der alle Elemente Null sind. Geschrieben wird \(0_{mn}\).
\(\displaystyle 0_{mn}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)\(\displaystyle 0_{3,3}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)\(\displaystyle 0_{2,3}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)
Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb des Diagonalelements gleich Null.
\(\displaystyle U=\begin{bmatrix}1 & 2 & 6.5 \\ 0 & 4 & 8\\ 0 & 0 & 10\end{bmatrix}\)
Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Elemente oberhalb des Diagonalelements gleich Null.
\(\displaystyle U=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 6 & 8\end{bmatrix}\)
Matrizen mit einer Spalte oder Reihe werden Vektoren genannt. Matrizen mit einer Spalte sind Spaltenvektoren. Entsprechend sind Matrizen mit einer Zeile Zeilenvektoren.
Matrizen oder Vektoren können transponiert werden. Das bedeutet, die 1. Reihe wird die 1. Spalte, die 2. Reihe wird die zweite Spalte usw. Das Symbol zur Angabe einer Transponierung ist normalerweise der Großbuchstabe \(T\).
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