Sphärische Bessel Funktion yv(z) berechnen
Online Rechner zur Berechnung der Sphärische Bessel Funktion der zweiten Art
Sphärische Bessel-Y Funktion Rechner
Sphärische Neumann-Funktion
Die yv(z) oder sphärische Neumann-Funktion zeigt singulares Verhalten im Ursprung und ist die zweite Lösung in sphärischen Koordinaten.
Sphärische Bessel-Y Funktionskurve
Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die sphärische Neumann-Funktion zeigt Singularitäten im Ursprung und große Oszillationen.
Eigenschaften der sphärischen Neumann-Funktion
Die sphärische Neumann-Funktion ist die zweite linear unabhängige Lösung:
- Singularität: yv(z) → -∞ für z → 0
- Relation zu Yv: yv(z) = √(π/2z) Yv+1/2(z)
- Asymptotisches Verhalten: Oszillation mit 1/z Dämpfung
- Physikalische Bedeutung: Auslaufende Wellen
- Kombination mit jv: Allgemeine Lösung möglich
- Anwendung: Streuprobleme und Randbedingungen
Sphärische Neumann-Funktionen in der Physik
Die sphärische Neumann-Funktion bildet mit jv ein vollständiges Lösungssystem:
Allgemeine Lösung
Linearkombination beider Lösungen
Hankel-Funktionen
Ein- und auslaufende Wellen
Formeln zur sphärischen Neumann-Funktion
Definition über klassische Neumann-Funktion
Relation zur klassischen Neumann-Funktion Yν
Explizite Ausdrücke für kleine Ordnungen
Einfache trigonometrische Darstellung mit Singularität
Asymptotische Form
Für große z (90° Phasenverschiebung zu jν)
Wronskian-Determinante
Beweis der linearen Unabhängigkeit
Rekursionsformeln
Identisch zu jν (dieselbe Differentialgleichung)
Spezielle Eigenschaften
Singularität im Ursprung
Für alle ν ≥ 0
Wichtige Werte
Nullstellen von y₀
Nullstellen bei ungeraden Vielfachen von π/2
Verhalten für große z
Oszillation mit 1/z Dämpfung
Anwendungsgebiete
Streuprobleme, auslaufende Wellen, Randbedingungen bei unendlichen Bereichen.
Beschreibung und Formeln
Die sphärischen Bessel-Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen, die in der Physik und Mathematik eine wichtige Rolle spielen. Sie sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung, die den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer oder sphärischer Symmetrie darstellt.
Bessel-Funktionen erster Gattung (Jν)
Diese Funktionen sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung und werden oft als Zylinderfunktionen bezeichnet. Die Bessel-Funktion erster Gattung n-ter Ordnung ist definiert als:
\(\displaystyle J_{\nu}(x) = \frac{(x/2)^{\nu}}{\Gamma(\nu + 1)} \, {}_0F_1(; \nu + 1; -x^2/4) \)
Dabei ist \(\Gamma(\nu + 1)\) die Gammafunktion und \(\nu\) eine reelle oder komplexe Zahl. Diese Funktionen treten in verschiedenen physikalischen Problemen auf, wie der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran, der Wärmeleitung in Stäben oder der Feldverteilung in Rundhohlleitern¹.
Sphärische Besselfunktionen (jμ)
Diese Funktionen sind spezielle Bessel-Funktionen, die in der sphärischen Geometrie auftreten. Sie sind Lösungen der Helmholtz-Gleichung in sphärischen Koordinaten. Die sphärische Bessel-Funktion jμ ist definiert als:
\(\displaystyle j_{\mu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\mu+1/2}(x) \)
Hierbei ist \(\mu\) eine ganze oder halbzahlige Ordnung. Sphärische Besselfunktionen werden beispielsweise bei der Beschreibung von elektromagnetischen Wellen in Kugelkoordinaten verwendet.
Sphärische Neumann-Funktionen (yμ)
Sphärische Neumann-Funktionen sind analog zu den sphärischen Besselfunktionen, jedoch mit einer anderen Definition. Sie treten ebenfalls in der sphärischen Geometrie auf. Sie sind definiert als:
\(\displaystyle y_\mu(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} Y_{\mu+1/2}(z) \)
wobei \(Y_\mu(z)\) die Besselsche Funktion zweiter Gattung (Neumann-Funktion) ist. Diese Funktionen zeigen singulares Verhalten im Ursprung und sind wichtig für Streuprobleme.
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