Struve Funktion berechnen

Online Rechner und Formeln zur Berechnung der Struve Funktion Hv(x)

Struve Funktion Rechner

Inhomogene Bessel-Gleichung

Die Hv(x) oder Struve-Funktion ist die Partikulärlösung der inhomogenen Besselschen Differentialgleichung.

Ordnung der Struve-Funktion (0 oder 1)
Argument der Funktion (x ≥ 0)
Resultat
Hv(x):

Struve Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die Struve-Funktion zeigt charakteristische Eigenschaften der inhomogenen Bessel-Gleichung.

Eigenschaften der Struve-Funktion

Die Struve-Funktion ist die Partikulärlösung der inhomogenen Besselschen Differentialgleichung:

  • Inhomogene DGL: x²y'' + xy' + (x² - v²)y = f(x)
  • Spezielle Inhomogenität: f(x) = 4(x/2)^(v+1)/[√π Γ(v+1/2)]
  • Asymptotisches Verhalten: Hv(x) → Yv(x) + konst.
  • Physikalische Bedeutung: Erzwungene Schwingungen
  • Beziehung zu Bessel: Ergänzt homogene Lösungen
  • Anwendung: Wellenpakete und Anregungsprobleme

Inhomogene Bessel-Gleichung und ihre Lösungen

Die Struve-Funktion erweitert das Lösungsspektrum der Bessel-Gleichung:

Inhomogene Bessel-DGL
\[x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = f(x)\]

Mit spezieller Inhomogenität f(x)

Allgemeine Lösung
\[y(x) = AJ_v(x) + BY_v(x) + H_v(x)\]

Homogene + partikuläre Lösung

Formeln zur Struve-Funktion

Reihenentwicklung
\[H_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(k+v+\frac{3}{2}\right)}\]

Fundamentale Potenzreihenentwicklung

Asymptotische Form
\[H_v(x) \sim Y_v(x) + \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\Gamma(k-v+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})} \left(\frac{x}{2}\right)^{v-2k-1}\]

Für große x (Beziehung zur Neumann-Funktion)

Rekursionsformeln
\[\frac{2v}{x} H_v(x) = H_{v-1}(x) + H_{v+1}(x) + \frac{2}{\sqrt{\pi}\Gamma(v+\frac{1}{2})} \left(\frac{x}{2}\right)^v\]

Modifizierte Rekursion mit Inhomogenitätsterm

Integraldarstellung
\[H_v(x) = \frac{2\left(\frac{x}{2}\right)^v}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(v+\frac{1}{2}\right)} \int_0^1 (1-t^2)^{v-\frac{1}{2}} \sin(xt) dt\]

Integralform für v > -1/2

Beziehung zu Bessel-Funktionen
\[H_v(x) - Y_v(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \Gamma(k+v+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi} \Gamma(\frac{1}{2}) k!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-v}\]

Unterschied zur Neumann-Funktion

Spezielle Werte

Wichtige Werte
H₀(0) = 0 H₁(0) = 0 H₀(π) ≈ 0.90
Verhalten bei x = 0
\[H_v(0) = 0\]

Für alle v > -1 (regulär im Ursprung)

Asymptotisches Verhalten
\[H_v(x) \sim Y_v(x) + \frac{2}{\pi x}\]

Für große x (Annäherung an Yv)

Symmetrieeigenschaft
H-v-1(x) = (-1)^⌊v⌋ Hv(x)

Für ganzzahlige v

Anwendungsgebiete

Erzwungene Schwingungen, inhomogene Wellengleichungen, Anregungsprobleme in der Physik.

Struve Funktion Hv(x)

Auf dieser Seite wird die Struve-Funktion Hv(x) berechnet. In der Mathematik sind die Struve-Funktionen Hα(x) Lösungen y(x) der inhomogenen Besselschen Differentialgleichung.

Mathematische Definition

Die Struve-Funktion ist die Partikulärlösung der inhomogenen Besselschen Differentialgleichung:

\[x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = \frac{4\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(v+\frac{1}{2}\right)}\]

Eigenschaften

  • Regulär im Ursprung: Hv(0) = 0 für v > -1
  • Asymptotisches Verhalten: Hv(x) ~ Yv(x) für große x
  • Physikalische Bedeutung: Beschreibt erzwungene Schwingungen
  • Reihenentwicklung: Konvergiert für alle endlichen x
  • Rekursionsformeln: Modifizierte Bessel-Rekursion
  • Integraldarstellung: Verfügbar für v > -1/2

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