Softsign Funktion berechnen

Online Rechner und Formeln zur Softsign Funktion - Alternative zur Tanh Aktivierungsfunktion in neuronalen Netzen

Softsign Funktion Rechner

Softsign Aktivierungsfunktion

Die softsign(x) oder Softsign-Funktion ist eine sanfte Alternative zur Tanh-Funktion als Aktivierungsfunktion in neuronalen Netzen.

Jede reelle Zahl (-∞ bis +∞)
Resultat
softsign(x):

Sanfte S-förmige Kurve

Softsign Kurve

Die Kurve der Softsign Funktion: Sanfte S-Form mit Werten zwischen -1 und +1.
Eigenschaften: Glatt, monoton steigend, langsamer sättigend als Tanh.

Warum ist Softsign eine sanfte Alternative?

Die Softsign-Funktion bietet mehrere Vorteile gegenüber anderen Aktivierungsfunktionen:

  • Langsame Sättigung: Weniger aggressive Asymptoten als Tanh
  • Einfache Berechnung: Nur Division und Absolutwert
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch um den Ursprung
  • Begrenzte Ausgabe: Werte zwischen -1 und +1
  • Null-zentriert: Ausgabe um 0 zentriert
  • Monotonie: Streng monoton steigend

Vergleich: Softsign vs. Tanh

Beide Funktionen haben S-förmige Kurven mit Werten zwischen -1 und +1, aber unterschiedliche Eigenschaften:

Softsign: x/(1+|x|)
  • Langsame Sättigung bei großen |x|
  • Computationally weniger aufwendig
  • Linearer Verlauf um x = 0
  • Weniger vanishing gradients
Tanh: (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))
  • Schnelle Sättigung bei großen |x|
  • Exponentialfunktionen erforderlich
  • S-förmiger Verlauf um x = 0
  • Stärkere vanishing gradients

Formeln zur Softsign Funktion

Grundformel
\[\text{softsign}(x) = \frac{x}{1+|x|}\]

Einfache rationale Funktion

Ableitung
\[\text{softsign}'(x) = \frac{1}{(1+|x|)^2}\]

Immer positiv

Stückweise Definition
\[\text{softsign}(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x} & \text{wenn } x \geq 0 \\ \frac{x}{1-x} & \text{wenn } x < 0 \end{cases}\]

Aufgeteilte Darstellung

Umkehrfunktion
\[\text{softsign}^{-1}(y) = \frac{y}{1-|y|}\]

Für |y| < 1

Grenzwerte
\[\lim_{x \to +\infty} \text{softsign}(x) = 1\] \[\lim_{x \to -\infty} \text{softsign}(x) = -1\]

Horizontale Asymptoten

Symmetrie
\[\text{softsign}(-x) = -\text{softsign}(x)\]

Ungerade Funktion

Eigenschaften

Spezielle Werte
softsign(0) = 0 softsign(1) = 0.5 softsign(-1) = -0.5
Definitionsbereich
x ∈ (-∞, +∞)

Alle reellen Zahlen

Wertebereich
\[\text{softsign}(x) \in (-1, 1)\]

Zwischen -1 und +1

Anwendung

Neuronale Netze, Deep Learning, alternative Aktivierungsfunktion, sanfte Normalisierung.

Ausführliche Beschreibung der Softsign Funktion

Mathematische Definition

Die Softsign-Funktion ist eine sanfte, S-förmige Funktion, die als Alternative zur hyperbolischen Tangens-Funktion entwickelt wurde. Sie bietet ähnliche Eigenschaften wie Tanh, ist aber computational günstiger und zeigt ein anderes Sättigungsverhalten.

Definition: softsign(x) = x/(1+|x|)
Verwendung des Rechners

Geben Sie eine beliebige reelle Zahl ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und liefert Werte zwischen -1 und +1.

Historischer Hintergrund

Die Softsign-Funktion wurde als Teil der Suche nach besseren Aktivierungsfunktionen für neuronale Netze entwickelt. Sie wurde besonders in den frühen 2000er Jahren als computationally effiziente Alternative zu Tanh vorgeschlagen.

Eigenschaften und Anwendungen

Machine Learning Anwendungen
  • Aktivierungsfunktion in neuronalen Netzen
  • Alternative zu Tanh in versteckten Schichten
  • Sanfte Normalisierung von Eingabewerten
  • Regularisierung durch langsamere Sättigung
Computational Vorteile
  • Keine Exponentialfunktionen erforderlich
  • Einfache Ableitung für Backpropagation
  • Numerisch stabil für alle Eingabewerte
  • Geringerer Rechenaufwand als Tanh
Mathematische Eigenschaften
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Symmetrie: Ungerade Funktion (punktsymmetrisch)
  • Differenzierbarkeit: Überall differenzierbar außer bei x = 0
  • Sättigung: Langsame Annäherung an ±1
Interessante Fakten
  • Die Ableitung softsign'(x) = 1/(1+|x|)² ist immer positiv
  • Softsign sättigt langsamer als Tanh, was weniger vanishing gradients bedeutet
  • Die Funktion ist bei x = 0 nicht differenzierbar (aber stetig)
  • Computational cost ist deutlich geringer als bei Sigmoid oder Tanh

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

softsign(0) = 0

Neutrale Eingabe → Nullausgang

Beispiel 2

softsign(1) = 0.5

Positive Eingabe → Positive Aktivierung

Beispiel 3

softsign(-3) = -0.75

Negative Eingabe → Negative Aktivierung

Vergleich mit anderen Aktivierungsfunktionen

vs. Tanh

Softsign vs. hyperbolische Tangens:

  • Ähnlicher Wertebereich (-1, 1)
  • Langsamere Sättigung
  • Geringere Rechenkosten
  • Weniger vanishing gradients
vs. Sigmoid

Softsign vs. Sigmoid-Funktion:

  • Symmetrisch um Null (vs. 0-1 Range)
  • Null-zentrierte Ausgabe
  • Bessere Konvergenzeigenschaften
  • Einfachere Berechnung
vs. ReLU

Softsign vs. Rectified Linear Unit:

  • Begrenzte Ausgabe (vs. unbegrenzt)
  • Glatte Funktion (vs. nicht-differenzierbar)
  • Beide Richtungen aktiv
  • Komplexere Berechnung

Vor- und Nachteile

Vorteile
  • Computationally effizient (keine Exponentialfunktionen)
  • Null-zentrierte Ausgabe verbessert Konvergenz
  • Langsamere Sättigung reduziert vanishing gradients
  • Numerisch stabil für alle Eingabewerte
  • Einfache Implementierung
Nachteile
  • Nicht differenzierbar bei x = 0 (praktisch meist vernachlässigbar)
  • Langsamer als ReLU-basierte Funktionen
  • Weniger verbreitet als Sigmoid/Tanh
  • Kann bei sehr großen Netzen trotzdem sättigen
  • Begrenzte empirische Studien im Vergleich zu ReLU

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