Modifizierte Struve Funktion berechnen

Onlinerechner zur Berechnung der Modifizierten Struve Funktion Lv(x)

Modifizierte Struve Funktion Rechner

Hyperbolische Modifikation

Die Lv(x) oder modifizierte Struve-Funktion zeigt exponentielles Wachstum und ist analog zur modifizierten Bessel-Funktion.

Ordnung der modifizierten Struve-Funktion (0 oder 1)
Argument der Funktion (x ≥ 0)
Resultat
Lv(x):

Modifizierte Struve Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die modifizierte Struve-Funktion zeigt exponentielles Wachstum anstatt Oszillation.

Was macht die modifizierte Struve-Funktion besonders?

Die modifizierte Struve-Funktion entsteht durch hyperbolische Transformation der klassischen Struve-Funktion:

  • Hyperbolische DGL: x²y'' + xy' - (x² + v²)y = f(x)
  • Exponentielles Wachstum: Lv(x) ~ e^x/√(2πx) für große x
  • Beziehung zu Iv: Analog zu modifizierten Bessel-Funktionen
  • Physikalische Bedeutung: Gedämpfte/verstärkte Systeme
  • Wärmeleitung: Inhomogene Probleme mit Quellen
  • Anwendung: Diffusion und Transportprozesse

Hyperbolische vs. Oszillierende Bessel-Gleichungen

Die modifizierte Struve-Funktion löst die hyperbolische Version der inhomogenen Bessel-Gleichung:

Klassische Struve Hv
\[x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = f(x)\]

Oszillierende Lösungen

Modifizierte Struve Lv
\[x^2y'' + xy' - (x^2 + v^2)y = f(x)\]

Exponentiell wachsende Lösungen

Formeln zur modifizierten Struve-Funktion

Reihenentwicklung
\[L_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(k+v+\frac{3}{2}\right)}\]

Potenzreihenentwicklung (positive Terme!)

Asymptotische Form
\[L_v(x) \sim I_v(x) - \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\Gamma(k-v+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})} \left(\frac{x}{2}\right)^{v-2k-1}\]

Für große x (Beziehung zur modifizierten Bessel-Funktion)

Rekursionsformeln
\[\frac{2v}{x} L_v(x) = L_{v-1}(x) - L_{v+1}(x) + \frac{2}{\sqrt{\pi}\Gamma(v+\frac{1}{2})} \left(\frac{x}{2}\right)^v\]

Modifizierte Rekursion mit Vorzeichenwechsel

Integraldarstellung
\[L_v(x) = \frac{2\left(\frac{x}{2}\right)^v}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(v+\frac{1}{2}\right)} \int_0^1 (1-t^2)^{v-\frac{1}{2}} \sinh(xt) dt\]

Integralform mit Sinus hyperbolicus

Beziehung zu modifizierten Bessel-Funktionen
\[L_v(x) - I_v(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Gamma(k+v+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi} \Gamma(\frac{1}{2}) k!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-v}\]

Unterschied zur modifizierten Bessel-Funktion

Spezielle Eigenschaften

Wichtige Werte
L₀(0) = 0 L₁(0) = 0 L₀(1) ≈ 0.276
Verhalten bei x = 0
\[L_v(0) = 0\]

Für alle v > -1 (regulär im Ursprung)

Exponentielles Wachstum
\[L_v(x) \sim \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}\]

Für große x (dominantes Verhalten)

Symmetrieeigenschaft
L-v-1(x) = Lv(x)

Für ganzzahlige v

Anwendungsgebiete

Diffusionsprozesse, Wärmeleitung mit Quellen, verstärkte Systeme, hyperbolische PDEs.

Formel zur modifizierten Struve Funktion Lv(x)

Auf dieser Seite wird die Modifizierte Struve-Funktion Lv(x) berechnet. In der Mathematik sind die Struve-Funktionen Lösungen der inhomogenen Besselschen Differentialgleichung.

Mathematische Definition

Die modifizierte Struve-Funktion ist die Partikulärlösung der modifizierten (hyperbolischen) inhomogenen Besselschen Differentialgleichung:

\[x^2y'' + xy' - (x^2 + v^2)y = \frac{4\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(v+\frac{1}{2}\right)}\]

Eigenschaften

  • Regulär im Ursprung: Lv(0) = 0 für v > -1
  • Exponentielles Wachstum: Lv(x) ~ e^x/√(2πx) für große x
  • Positive Reihenkoeffizienten: Monoton wachsende Funktion
  • Hyperbolische Natur: Lösung der modifizierten DGL
  • Beziehung zu Iv: Asymptotisch ähnlich zu modifizierten Bessel-Funktionen
  • Physikalische Bedeutung: Verstärkte/gedämpfte Systeme mit Anregung

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