Hankel Funktion berechnen

Online Rechner zur Hankel-Funktion H⁽¹⁾ᵥ(z) und H⁽²⁾ᵥ(z) - Zylinderwellen für ein- und auslaufende Wellenausbreitung

Hankel Funktion Rechner

Hankel-Funktionen (Zylinderwellen)

Die H⁽¹⁾ᵥ(z) und H⁽²⁾ᵥ(z) beschreiben zylindrische Wellen mit ein- und auslaufender Wellenausbreitung.

Ordnung der Hankel-Funktion
Re(z) - Reeller Teil
Im(z) - Imaginärer Teil
Resultat
H⁽¹⁾ᵥ(z):
H⁽²⁾ᵥ(z):

Hankel Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die Kurve wird nur für rein reelle Argumente angezeigt (Im(z) = 0).
Y-Skala ist auf ±4 limitiert, um kleine Werte bei z ≈ 0 aufzulösen.

Ein- und auslaufende Zylinderwellen

Die Hankel-Funktionen beschreiben die fundamentalen Wellentypen in zylindrischen Geometrien:

  • H⁽¹⁾ᵥ(z): Auslaufende Wellen (outgoing waves)
  • H⁽²⁾ᵥ(z): Einlaufende Wellen (incoming waves)
  • Komplexe Konjugation: H⁽²⁾ᵥ(z) = [H⁽¹⁾ᵥ(z*)]* für reelle z
  • Asymptotisches Verhalten: ~ √(2/πz) e^(±i(z-νπ/2-π/4))
  • Wellenausbreitung: Beschreibt Fernfeld-Charakteristik
  • Strahlungsbedingung: Physikalisch korrekte Randbedingungen

Anwendungen der Hankel-Funktionen

Hankel-Funktionen sind essentiell für zylindrische Wellenprobleme und Strahlungstheorie:

Strahlungsprobleme
  • Zylindrische Antennen und Wellenleiter
  • Elektromagnetische Streuung an Zylindern
  • Akustische Abstrahlung rotationssymmetrischer Quellen
Wellenausbreitung
  • Green'sche Funktionen für zylindrische Geometrien
  • Fernfeldapproximationen und asymptotische Entwicklungen
  • Randintegralgleichungen für Außenraumprobleme

Formeln zu den Hankel-Funktionen

Definition über Bessel-Funktionen
\[H_\nu^{(1)}(z) = J_\nu(z) + i Y_\nu(z)\] \[H_\nu^{(2)}(z) = J_\nu(z) - i Y_\nu(z)\]

Hankel-Funktionen erster und zweiter Art

Umkehrbeziehungen
\[J_\nu(z) = \frac{1}{2}[H_\nu^{(1)}(z) + H_\nu^{(2)}(z)]\] \[Y_\nu(z) = \frac{1}{2i}[H_\nu^{(1)}(z) - H_\nu^{(2)}(z)]\]

Darstellung der Bessel-Funktionen über Hankel-Funktionen

Asymptotische Formen (große z)
\[H_\nu^{(1)}(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{i(z - \nu\pi/2 - \pi/4)}\] \[H_\nu^{(2)}(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{-i(z - \nu\pi/2 - \pi/4)}\]

Auslaufende und einlaufende Zylinderwellen

Rekursionsformeln
\[\frac{2\nu}{z} H_\nu^{(k)}(z) = H_{\nu-1}^{(k)}(z) + H_{\nu+1}^{(k)}(z)\] \[\frac{d}{dz} H_\nu^{(k)}(z) = \frac{1}{2}[H_{\nu-1}^{(k)}(z) - H_{\nu+1}^{(k)}(z)]\]

Für k = 1, 2 (gleiche Rekursionen wie Bessel-Funktionen)

Wronskische Determinanten
\[W[H_\nu^{(1)}, H_\nu^{(2)}] = -\frac{4i}{\pi z}\] \[W[J_\nu, H_\nu^{(1)}] = \frac{2i}{\pi z}\]

Beweist lineare Unabhängigkeit der Funktionspaare

Symmetrieeigenschaften
\[H_{-n}^{(1)}(z) = (-1)^n H_n^{(2)}(z)\] \[H_{-n}^{(2)}(z) = (-1)^n H_n^{(1)}(z)\]

Für ganzzahlige n

Verhalten bei z → 0
\[H_\nu^{(1,2)}(z) \sim \pm \frac{2i}{\pi} \frac{\Gamma(\nu)}{\left(\frac{z}{2}\right)^\nu}\]

Singularität im Ursprung für ν > 0

Spezielle Werte

Wichtige Werte
H₀⁽¹⁾(1) ≈ 0.765 + 0.088i H₁⁽¹⁾(1) ≈ 0.440 - 0.781i H₀⁽²⁾(1) ≈ 0.765 - 0.088i
Symmetrieeigenschaften
H⁽²⁾ᵥ(z*) = [H⁽¹⁾ᵥ(z)]*

Für reelle z (komplexe Konjugation)

Wellencharakter
\[|H_\nu^{(1,2)}(z)| \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\]

Amplitudenabnahme für große z

Komplexe Argumente
H⁽¹⁾ᵥ(z) und H⁽²⁾ᵥ(z)

Ergeben immer komplexe Zahlen

Anwendungsgebiete

Strahlungsprobleme, zylindrische Wellenleiter, Streutheorie, Green'sche Funktionen.

Ausführliche Beschreibung der Hankel-Funktionen

Mathematische Definition

Die Hankel-Funktionen H⁽¹⁾ᵥ(z) und H⁽²⁾ᵥ(z) sind komplexe Linearkombinationen der Bessel-Funktionen Jᵥ(z) und Yᵥ(z). Sie beschreiben ein- und auslaufende Zylinderwellen und sind fundamental für die Beschreibung von Wellenausbreitungsproblemen.

Fundamentale Eigenschaft: H⁽¹⁾ᵥ(z) ↔ auslaufende Wellen, H⁽²⁾ᵥ(z) ↔ einlaufende Wellen
Verwendung des Rechners

Geben Sie die Ordnungszahl ν und das komplexe Argument z = Re(z) + i Im(z) ein. Der Rechner berechnet beide Hankel-Funktionen gleichzeitig als komplexe Zahlen.

Physikalischer Hintergrund

Hankel-Funktionen wurden nach dem deutschen Mathematiker Hermann Hankel (1839-1873) benannt. Sie sind essentiell für die Beschreibung von Wellenausbreitung in zylindrischen Koordinaten und ermöglichen die physikalisch korrekte Implementierung von Strahlungsbedingungen.

Eigenschaften und Anwendungen

Physikalische Anwendungen
  • Elektromagnetische Streuung an zylindrischen Objekten
  • Akustische Abstrahlung und Wellenausbreitung
  • Zylindrische Antennen und Wellenleitertheorie
  • Green'sche Funktionen für zylindrische Geometrien
Mathematische Eigenschaften
  • Komplexe Funktionen mit definiertem Wellencharakter
  • Asymptotisches Verhalten: ~ √(2/πz) e^(±iz)
  • Lineare Unabhängigkeit untereinander und von Bessel-Funktionen
  • Erfüllung der Sommerfeld'schen Ausstrahlungsbedingung
Numerische Aspekte
  • Komplexe Arithmetik: Alle Ergebnisse sind komplexe Zahlen
  • Stabilität: Numerisch stabil für |z| > 1
  • Singularität: Problematisch bei z → 0 für ν > 0
  • Effizienz: Berechnung über Bessel-J und Y-Funktionen
Interessante Fakten
  • H⁽¹⁾₀(z) beschreibt die 2D Green'sche Funktion der Helmholtz-Gleichung
  • Hankel-Funktionen erfüllen automatisch die Strahlungsbedingung
  • Sie sind die zylindrischen Analoga zu sphärischen Hankel-Funktionen
  • Essentiell für die Methode der Randintegralgleichungen

Berechnungsbeispiele und Wellencharakter

Kleines Argument

z = 0.5:

H⁽¹⁾₀(0.5) ≈ -0.177 + 0.512i

H⁽²⁾₀(0.5) ≈ -0.177 - 0.512i

Mittleres Argument

z = 2:

H⁽¹⁾₀(2) ≈ 0.224 + 0.510i

H⁽²⁾₀(2) ≈ 0.224 - 0.510i

Großes Argument

z = 10:

|H⁽¹⁾₀(10)| ≈ 0.252

Asymptotisches Verhalten

Physikalische Anwendungen im Detail

Zylindrische Streuung

Gestreutes Feld:

ψ_scat = Σ aₙ H⁽¹⁾ₙ(kr) e^(inφ)

Auslaufende Wellen vom Streuer

Beispiel: Elektromagnetische Streuung an leitfähigen Zylindern.

Green'sche Funktionen

2D Helmholtz-Gleichung:

G(r,r') = (i/4) H⁽¹⁾₀(k|r-r'|)

Fundamentallösung für Außenraumprobleme

Anwendung: Randintegralgleichungen für Wellenausbreitung.

Mathematische Eigenschaften und Relationen

Asymptotisches Verhalten

Für große z:

H⁽¹⁾ᵥ(z) ~ √(2/πz) e^(i(z-νπ/2-π/4))

H⁽²⁾ᵥ(z) ~ √(2/πz) e^(-i(z-νπ/2-π/4))

Zeigt den Wellencharakter deutlich

Phasenbeziehung: 180° Phasendifferenz zwischen H⁽¹⁾ und H⁽²⁾.

Beziehungen zu anderen Funktionen

Wronskische Determinante:

W[H⁽¹⁾ᵥ, H⁽²⁾ᵥ] = -4i/(πz)

Beziehung zu modifizierten Bessel-Funktionen:

H⁽¹⁾ᵥ(iz) = (2i/π) e^(iνπ/2) Kᵥ(z)

Bedeutung: Fundamentales System für Wellenprobleme.

Spezielle Ordnungen und ihre physikalische Bedeutung

Ordnung ν = 0

H⁽¹⁾₀(z) - Fundamentallösung:

\[H_0^{(1)}(z) = J_0(z) + i Y_0(z)\]

Green'sche Funktion der 2D Helmholtz-Gleichung

Anwendung: Punktquellen in 2D-Wellenausbreitung.

Ordnung ν = 1

H⁽¹⁾₁(z) - Dipolcharakteristik:

\[H_1^{(1)}(z) = J_1(z) + i Y_1(z)\]

Wichtig für Dipol- und Gradientenprobleme

Anwendung: Zylindrische Dipolantennen.

Numerische Berechnung und Algorithmen

Berechnungsmethoden
  • Über Bessel-Funktionen: H⁽¹⁾ = J + iY, H⁽²⁾ = J - iY
  • Series Expansion: Für kleine z (komplexe Arithmetik)
  • Asymptotic Expansion: Für große z (Wellenform)
  • Recurrence Relations: Für benachbarte Ordnungen
Software-Implementierungen
  • GNU GSL: Komplexe Hankel-Funktionen
  • Boost Math: C++ Template-Bibliothek
  • SciPy: Python scipy.special.hankel1, hankel2
  • MATLAB: Built-in besselh Funktion

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