Abstand von einem Punkt zu einer Geraden

Online Rechner für den euklidischen Abstand zwischen Punkt und Gerade

Punkt-Gerade Distanz Rechner

Euklidischer Abstand

Berechnet den kürzesten Abstand von einem Punkt C zu einer unendlichen Geraden durch die Punkte A und B mittels Lotverfahren.

Definition der Geraden (durch zwei Punkte)
X-Koordinate von Punkt A
Y-Koordinate von Punkt A
X-Koordinate von Punkt B
Y-Koordinate von Punkt B
Außenliegender Punkt
X-Koordinate des Außenpunkts
Y-Koordinate des Außenpunkts
Ergebnis
Kürzester Abstand:

Visualisierung

Abstand Punkt zu Gerade

Die Grafik zeigt den kürzesten Abstand als senkrechte Linie vom Punkt zur Geraden.
Das Lot bildet einen rechten Winkel zur ursprünglichen Geraden.

Was ist der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden?

Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zwischen einem Punkt und einer Geraden:

  • Kürzester Weg: Immer senkrecht zur Geraden
  • Lotverfahren: Rechter Winkel zur ursprünglichen Linie
  • Unendliche Gerade: Endpunkte werden nicht berücksichtigt
  • Euklidische Geometrie: Standardverfahren in der Ebene
  • Immer eindeutig: Es gibt nur einen kürzesten Abstand
  • Positiver Wert: Abstand ist immer ≥ 0

Euklidischer Abstand und mathematische Herleitung

Die Berechnung erfolgt über das Lotfußverfahren der analytischen Geometrie:

Geradengleichung
\[\vec{g}: \vec{r} = \vec{A} + t \cdot \overrightarrow{AB}\]

Parameterform der Geraden durch A und B

Lotfußpunkt
\[\overrightarrow{CP_{\text{Lot}}} \perp \overrightarrow{AB}\]

Senkrechte vom Punkt zur Geraden

Das Lotverfahren Schritt für Schritt

Das Lotverfahren ist die mathematisch exakte Methode zur Abstandsberechnung:

Schritt 1: Richtungsvektor
\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}\]

Richtung der Geraden bestimmen

Schritt 2: Lotfußpunkt
\[t_{\text{opt}} = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}\]

Parameter für den Lotfußpunkt

Formeln für den Punkt-Gerade Abstand

Abstandsformel (Koordinatenform)
\[d = \frac{|ax_C + by_C + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

Für Gerade in Normalform: ax + by + c = 0

Abstandsformel (Vektorform)
\[d = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}\]

Über Kreuzprodukt in 2D (Determinante)

Determinantenform
\[d = \frac{|(x_2-x_1)(y_1-y_C) - (x_1-x_C)(y_2-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}\]

Direkte Berechnung aus Koordinaten

Lotfußpunkt berechnen
\[P_{\text{Lot}} = A + t_{\text{opt}} \cdot \overrightarrow{AB}\]

Koordinaten des Lotfußpunktes

Beispiel

Beispielrechnung
A(0,0) B(5,8) C(6,2)
Berechnung
\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}\] \[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Richtungs- und Verbindungsvektor

Determinante
\[|\det| = |5 \cdot 2 - 8 \cdot 6| = |10 - 48| = 38\]

Kreuzprodukt in 2D

Ergebnis
\[d = \frac{38}{\sqrt{5^2 + 8^2}} = \frac{38}{\sqrt{89}} \approx 4.03\]

Der Abstand beträgt etwa 4.03 Einheiten

Anwendungen

Computergrafik, Robotik, Navigation, Kollisionserkennung, CAD-Systeme.

Punkt-Gerade Abstand in der Praxis

Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist ein fundamentales Problem der analytischen Geometrie. Er bezeichnet die kürzeste Entfernung zwischen einem gegebenen Punkt und einer unendlich ausgedehnten geraden Linie im zweidimensionalen Raum.

Mathematische Grundlagen

Der kürzeste Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist immer der senkrechte Abstand. Dies bedeutet, dass die Verbindungslinie vom Punkt zum nächstgelegenen Punkt auf der Geraden (dem sogenannten Lotfußpunkt) einen rechten Winkel zur ursprünglichen Geraden bildet.

Das Lotverfahren

Die mathematisch exakte Berechnung erfolgt über das Lotverfahren:

  1. Richtungsvektor: Bestimmung der Richtung der Geraden durch die Punkte A und B
  2. Lotfußpunkt: Finden des Punktes auf der Geraden, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt
  3. Abstandsberechnung: Berechnung der Entfernung zwischen dem gegebenen Punkt und dem Lotfußpunkt

Wichtige Eigenschaften

Eindeutigkeit

Für jeden Punkt gibt es genau einen kürzesten Abstand zu einer Geraden.

Unendliche Gerade

Die Berechnung bezieht sich auf eine unendlich ausgedehnte Gerade, nicht nur auf die Strecke zwischen den beiden Punkten.

Rechter Winkel

Der kürzeste Abstand steht immer senkrecht zur ursprünglichen Geraden.

Positive Werte

Der Abstand ist immer eine positive Zahl oder null (wenn der Punkt auf der Geraden liegt).

Praktische Anwendungen

Die Punkt-Gerade Abstandsberechnung findet sich in vielen praktischen Bereichen:

  • Computergrafik: Kollisionserkennung, Rendering, Abstandsberechnungen
  • Robotik: Pfadplanung, Hindernisvermeidung, Navigation
  • CAD/CAM: Technische Zeichnungen, Toleranzberechnungen
  • GIS (Geografische Informationssysteme): Entfernungen zu Straßen, Grenzen
  • Maschinenbau: Passungen, Abstände bei mechanischen Bauteilen
  • Architektur: Abstandsberechnungen in Bauplänen

Spezialfälle

Punkt auf der Geraden

Abstand = 0
Der Punkt liegt exakt auf der Linie

Horizontale Gerade

Abstand = |y₀ - y_Gerade|
Einfache Y-Differenz

Vertikale Gerade

Abstand = |x₀ - x_Gerade|
Einfache X-Differenz

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