Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Online Rechner zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren im 2D und 3D Raum

Vektor-Winkel Rechner

Winkel zwischen Vektoren

Berechnet den Winkel θ zwischen zwei Vektoren a⃗ und b⃗ mittels Skalarprodukt im 2D oder 3D Raum.

Dimensionen wählen
Vektor-Komponenten eingeben
Vektor a⃗
Vektor b⃗
Ergebnis
Winkel θ:

Visualisierung

Winkel zwischen Vektoren

Die Grafik zeigt zwei Vektoren mit ihrem gemeinsamen Ursprung und dem eingeschlossenen Winkel.
Der Winkel wird über das Skalarprodukt und die Vektorlängen berechnet.

Was ist der Winkel zwischen zwei Vektoren?

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist der kleinste Winkel zwischen ihren Richtungen:

  • Bereich: 0° bis 180° (0 bis π Radiant)
  • Gemeinsamer Ursprung: Vektoren starten vom selben Punkt
  • Richtungsabhängig: Nur die Richtung, nicht die Position zählt
  • 0°: Vektoren zeigen in dieselbe Richtung
  • 90°: Vektoren stehen senkrecht zueinander
  • 180°: Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen

Berechnung über das Skalarprodukt

Die Winkelberechnung erfolgt über das Skalarprodukt der Vektoren:

Skalarprodukt
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z\]

Summe der Komponentenprodukte

Vektorlängen
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\]

Euklidische Norm der Vektoren

2D und 3D Vektoren

Der Rechner unterstützt sowohl 2D- als auch 3D-Vektoren:

2D Vektoren
\[\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}\]

Vektoren in der Ebene (x, y)

3D Vektoren
\[\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}\]

Vektoren im Raum (x, y, z)

Formeln zur Winkelberechnung

Hauptformel - Winkel über Skalarprodukt
\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

Kosinus des Winkels durch normiertes Skalarprodukt

Skalarprodukt 2D
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]

Skalarprodukt in der Ebene

Skalarprodukt 3D
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z\]

Skalarprodukt im Raum

Vektorlänge 2D
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\]

Länge in der Ebene

Vektorlänge 3D
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\]

Länge im Raum

Winkel berechnen
\[\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)\]

Arkuskosinus des normierten Skalarprodukts

Beispiel

Beispielrechnung (2D)
a⃗(4,7) b⃗(5,2)
1. Skalarprodukt
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 = 34\]

Summe der Komponentenprodukte

2. Vektorlängen
\[|\vec{a}| = \sqrt{16+49} = \sqrt{65}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}\]

Längen der beiden Vektoren

3. Kosinus berechnen
\[\cos(\theta) = \frac{34}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{29}} \approx 0.781\]

Normiertes Skalarprodukt

4. Winkel
\[\theta = \arccos(0.781) \approx 38.7°\]

Der Winkel beträgt etwa 38.7°

Vektorwinkel in der linearen Algebra

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist ein fundamentales Konzept der linearen Algebra und Geometrie. Er beschreibt die Richtungsbeziehung zwischen zwei Vektoren unabhängig von ihrer Position im Raum und wird ausschließlich über das Skalarprodukt und die Vektorlängen berechnet.

Mathematische Grundlagen

Die Winkelberechnung basiert auf der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\]

Durch Umstellung nach dem Kosinus erhalten wir die Winkelformel:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

Berechnung Schritt für Schritt

  1. Skalarprodukt berechnen: Summe der Komponentenprodukte
  2. Vektorlängen bestimmen: Euklidische Norm jedes Vektors
  3. Kosinus berechnen: Skalarprodukt geteilt durch Längenprodukt
  4. Winkel ermitteln: Arkuskosinus des berechneten Wertes

Besondere Winkelwerte

0° (Parallelität)

cos(θ) = 1
Vektoren zeigen in gleiche Richtung

90° (Orthogonalität)

cos(θ) = 0
Vektoren stehen senkrecht

180° (Antiparallelität)

cos(θ) = -1
Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen

Anwendungen in der Praxis

Die Winkelberechnung zwischen Vektoren findet sich in vielen Bereichen:

  • Computergrafik: Beleuchtungsberechnungen, Normalenvektoren
  • Physik: Kraft- und Geschwindigkeitsvektoren, Drehmomente
  • Maschinelles Lernen: Ähnlichkeitsmessungen, Datenanalyse
  • Robotik: Bewegungsplanung, Orientierungsbestimmung
  • Navigation: Richtungsbestimmung, GPS-Berechnungen
  • Kristallografie: Bindungswinkel in Molekülen

Eigenschaften des Vektorwinkels

Kommutativität

Der Winkel zwischen a⃗ und b⃗ ist gleich dem zwischen b⃗ und a⃗.

Dimensionsunabhängigkeit

Die Formel funktioniert gleichermaßen für 2D, 3D und höhere Dimensionen.

Skalierungsinvarianz

Die Länge der Vektoren beeinflusst den Winkel nicht, nur die Richtung zählt.

Wertebereich

Der Winkel liegt immer zwischen 0° und 180° (0 und π Radiant).

Verwandte Konzepte

Das Skalarprodukt und der Vektorwinkel sind eng mit anderen mathematischen Konzepten verbunden:

  • Orthogonalität: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist
  • Projektion: Die Projektion eines Vektors auf einen anderen hängt vom Winkel ab
  • Kosinussatz: Der Vektorwinkel verallgemeinert den Kosinussatz für n-dimensionale Räume
  • Norm und Metrik: Der Winkel definiert eine natürliche Metrik im Vektorraum

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