Entfernung zwischen zwei Punkten berechnen

Online Rechner zum Berechnen der Distanz zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem

Distanz Rechner

Koordinaten-Distanz

Berechnet die Entfernung zwischen zwei Punkten A(x₁,y₁) und B(x₂,y₂) mittels Pythagoräischem Lehrsatz.

X-Koordinate von Punkt A
Y-Koordinate von Punkt A
X-Koordinate von Punkt B
Y-Koordinate von Punkt B
Ergebnisse
Distanz A↔B (c):
Distanz X (b):
Distanz Y (a):
Winkel α:

Visualisierung

Distanz zwischen zwei Punkten

Die Grafik zeigt die geometrische Beziehung zwischen den beiden Punkten A und B.
Das entstehende rechtwinklige Dreieck ermöglicht die Anwendung des Satzes von Pythagoras.

Wie funktioniert die Distanzberechnung?

Die Entfernung zwischen zwei Punkten wird mit der Distanzformel berechnet:

  • Eingabe: Koordinaten der Punkte A(x₁,y₁) und B(x₂,y₂)
  • Berechnung: Anwendung des Satzes von Pythagoras
  • Ergebnis: Direkte Entfernung zwischen den Punkten
  • Zusätzlich: Einzelne X- und Y-Distanzen
  • Winkel: Neigungswinkel zur X-Achse
  • Reihenfolge: Punkt A und B sind austauschbar

Der Satz des Pythagoras in der Koordinatengeometrie

Die Distanzformel basiert auf dem Satz des Pythagoras:

Rechtwinkliges Dreieck
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Grundformel des Pythagoras

Distanzformel
\[c = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Angewendet auf Koordinaten

Formeln und Berechnungen

Hauptformel - Distanz zwischen zwei Punkten
\[c = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Die fundamentale Distanzformel in der Koordinatengeometrie

Einzelne Koordinaten-Distanzen
\[b = |x_2 - x_1| \quad \text{und} \quad a = |y_2 - y_1|\]

Abstände in X- und Y-Richtung (Katheten des Dreiecks)

Winkelberechnung
\[\alpha = \arctan\left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)\]

Neigungs Winkel der Verbindungslinie zur X-Achse

Alternative Winkelformeln
\[\alpha = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right) = \arccos\left(\frac{b}{c}\right)\]

Winkelberechnung über Sinus und Kosinus

Beispiel

Beispielrechnung
A(0,0) B(8,6)
Berechnung
\[c = \sqrt{8^2 + 6^2}\] \[c = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\]

Die Distanz beträgt 10 Einheiten

Einzeldistanzen
  • X-Distanz: |8-0| = 8
  • Y-Distanz: |6-0| = 6
  • Winkel α: arctan(6/8) ≈ 36.87°
Anwendungen

Navigation, Kartografie, Computergrafik, Robotik, GPS-Systeme.

Konstruktion der Entfernungsformel

Die Entfernungsformel zwischen zwei Punkten basiert auf dem berühmten Satz des Pythagoras. Wenn wir zwei Punkte A(x₁,y₁) und B(x₂,y₂) in einem Koordinatensystem haben, bilden diese zusammen mit einem dritten Punkt ein rechtwinkliges Dreieck.

Geometrische Herleitung

In der obigen Grafik bilden die beiden Strecken a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Strecke c ist die Hypotenuse und entspricht der gesuchten Distanz zwischen den Punkten A und B.

\[c^2 = a^2 + b^2 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Koordinaten-Transformation

Die Werte für die Katheten a und b ergeben sich aus den Differenzen der entsprechenden Koordinaten:

  • Kathete a (Y-Richtung): a = |y₂ - y₁|
  • Kathete b (X-Richtung): b = |x₂ - x₁|

Da wir die Werte quadrieren, können wir die Betragsstriche weglassen, da (±n)² = n² ist. Dies führt zur finalen Distanzformel:

\[c = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

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