Winkel zwischen zwei Geraden berechnen

Online Rechner zum Berechnen des Schnittwinkels zweier Geraden im Koordinatensystem

Geradenwinkel Rechner

Schnittwinkel zweier Geraden

Berechnet den Winkel α zwischen zwei Geraden im Koordinatensystem durch Vektorrechnung oder Steigungsvergleich.

Erste Gerade (durch Punkte A und B)
X-Koordinate von Punkt A
Y-Koordinate von Punkt A
X-Koordinate von Punkt B
Y-Koordinate von Punkt B
Zweite Gerade (durch Punkte C und D)
X-Koordinate von Punkt C
Y-Koordinate von Punkt C
X-Koordinate von Punkt D
Y-Koordinate von Punkt D
Ergebnis
Schnittwinkel α:

Visualisierung

Winkel zwischen zwei Geraden

Die Grafik zeigt zwei sich schneidende Geraden mit dem berechneten Schnittwinkel.
Der kleinere der beiden Winkel wird als Ergebnis ausgegeben (0° bis 90°).

Was ist der Winkel zwischen zwei Geraden?

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist der kleinere der beiden Winkel, die beim Schneiden entstehen:

  • Spitzer Winkel: Immer zwischen 0° und 90°
  • Eindeutig: Der kleinere der vier entstehenden Winkel
  • Symmetrie: Reihenfolge der Geraden ist egal
  • Parallele Geraden: Winkel = 0°
  • Senkrechte Geraden: Winkel = 90°
  • Berechnung: Über Vektoren oder Steigungen

Berechnung über Vektorrechnung

Die exakte Berechnung erfolgt über die Richtungsvektoren der beiden Geraden:

Richtungsvektoren
\[\vec{u} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}, \vec{v} = \begin{pmatrix} x_4-x_3 \\ y_4-y_3 \end{pmatrix}\]

Richtungsvektoren beider Geraden

Winkelformel
\[\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\]

Kosinus des Schnittwinkels

Alternative Berechnung über Steigungen

Der Winkel kann auch über die Steigungen der beiden Geraden berechnet werden:

Steigungen berechnen
\[m_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad m_2 = \frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}\]

Steigungen beider Geraden

Winkel aus Steigungen
\[\alpha = \left|\arctan(m_1) - \arctan(m_2)\right|\]

Differenz der Steigungswinkel

Formeln für den Schnittwinkel

Hauptformel - Winkel über Vektoren
\[\alpha = \arccos\left(\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\right)\]

Winkel zwischen Richtungsvektoren (immer spitzer Winkel durch Betrag)

Skalarprodukt berechnen
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y\]

Skalarprodukt der Richtungsvektoren

Vektorbeträge berechnen
\[|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\]

Länge der Richtungsvektoren

Steigungsformel
\[\alpha = \left|\arctan\left(\frac{m_2-m_1}{1+m_1 \cdot m_2}\right)\right|\]

Winkel über Steigungsdifferenz

Spezialfälle
\[m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \alpha = 90°\]

Senkrechte Geraden

Beispiel

Beispielrechnung
A(-1,-2) B(4,5) C(2,-1) D(7,2)
Richtungsvektoren
\[\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}, \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\]

Differenzen der Koordinaten

Skalarprodukt
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \cdot 5 + 7 \cdot 3 = 46\]

Skalarprodukt berechnen

Beträge
\[|\vec{u}| = \sqrt{74} \approx 8.6\] \[|\vec{v}| = \sqrt{34} \approx 5.83\]

Vektorlängen berechnen

Ergebnis
\[\alpha = \arccos\left(\frac{46}{8.6 \cdot 5.83}\right) \approx 23.46°\]

Der Schnittwinkel beträgt etwa 23.46°

Schnittwinkel zweier Geraden verstehen

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist ein wichtiges Konzept der analytischen Geometrie. Er beschreibt den kleineren der beiden Winkel, die entstehen, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt schneiden. Dieser Winkel liegt immer zwischen 0° und 90°.

Mathematische Grundlagen

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung des Schnittwinkels:

1. Vektorrechnung (bevorzugte Methode)

Die exakteste Methode verwendet die Richtungsvektoren der beiden Geraden. Für Gerade 1 durch A(x₁,y₁) und B(x₂,y₂) sowie Gerade 2 durch C(x₃,y₃) und D(x₄,y₄) sind die Richtungsvektoren:

\[\vec{u} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} x_4-x_3 \\ y_4-y_3 \end{pmatrix}\]

Der Winkel ergibt sich dann aus dem Skalarprodukt:

\[\alpha = \arccos\left(\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\right)\]
2. Steigungsberechnung

Alternativ kann der Winkel über die Steigungen m₁ und m₂ der beiden Geraden berechnet werden:

\[\alpha = \left|\arctan\left(\frac{m_2-m_1}{1+m_1 \cdot m_2}\right)\right|\]

Wichtige Eigenschaften

Spitzer Winkel

Der Schnittwinkel ist immer der kleinere der vier entstehenden Winkel, also zwischen 0° und 90°.

Symmetrie

Die Reihenfolge der Geraden spielt keine Rolle. Der Winkel zwischen Gerade 1 und 2 ist gleich dem zwischen 2 und 1.

Eindeutigkeit

Für jedes Geradenpaar gibt es genau einen Schnittwinkel (außer bei parallelen Geraden).

Komplementärwinkel

Die beiden Schnittwinkel ergänzen sich zu 180°. Wir verwenden den kleineren.

Spezialfälle

Parallele Geraden

Winkel = 0°
Gleiche Steigung: m₁ = m₂

Senkrechte Geraden

Winkel = 90°
Steigungen: m₁ · m₂ = -1

45°-Winkel

Tritt auf, wenn eine Steigung das Negative der Kehrwerts der anderen ist

Praktische Anwendungen

Die Berechnung von Schnittwinkeln findet sich in vielen Bereichen:

  • Architektur: Dachneigungen, Gebäudewinkel, Konstruktionszeichnungen
  • Maschinenbau: Fügewinkel, Schnittwinkel von Bauteilen
  • Vermessung: Winkel zwischen Vermessungslinien, Grenzverläufen
  • Navigation: Kurswinkel, Peilungswinkel
  • Computergrafik: Kollisionserkennung, 3D-Rendering
  • Optik: Reflexions- und Brechungswinkel

Mathematischer Hintergrund

Das Skalarprodukt, das für die Winkelberechnung verwendet wird, ist ein fundamentales Konzept der linearen Algebra. Es misst sowohl die "Ähnlichkeit" der Richtungen als auch die Längen der Vektoren. Der Kosinus des Winkels entspricht dem auf die Längen normierten Skalarprodukt.

Die Verwendung des Betrags im Skalarprodukt stellt sicher, dass immer der spitze Winkel berechnet wird, unabhängig von der Orientierung der Richtungsvektoren.

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