Log, dekadischer Logarithmus zur Basis 10

Rechner und Formel zur Berechnung des Logarithmus zur Basis 10

Dekadischer Logarithmus Rechner

Was wird berechnet?

Die Funktion Log liefert den dekadischen Logarithmus zur Basis 10 der angegebenen Zahl (Potenzwert). Als Argument muss eine positive reelle Zahl angegeben werden.

Eingabewerte


Ergebnis
Das Ergebnis wird mit der gewählten Anzahl Dezimalstellen angezeigt

Funktionsgraph

Dekadischer Logarithmus Graph

Graph der dekadischen Logarithmusfunktion log(x)

Dekadischer Logarithmus Info

Eigenschaften

Dekadischer Logarithmus:

  • Basis: 10
  • Definitionsbereich: (0, ∞)
  • Wertebereich: (-∞, ∞)
  • Umkehrfunktion von 10^x

Wichtig: Der dekadische Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Für komplexe Zahlen gibt es eine separate Funktion.

Spezielle Werte
log(1) = 0
Logarithmus von 1 ist immer 0
log(10) = 1
Logarithmus der Basis ergibt 1
log(100) = 2
log(10²) = 2
log(0.1) = -1
log(10⁻¹) = -1
Verwandte Funktionen

Für komplexe Zahlen steht eine separate Log-Funktion zur Verfügung: → Komplexer dekadischer Logarithmus

Formeln des dekadischen Logarithmus

Definition
\[\log(x) = \log_{10}(x)\] Logarithmus zur Basis 10
Umrechnung mit ln
\[\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}\] Basiswechselformel
Produktregel
\[\log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y)\] Logarithmus eines Produkts
Potenzregel
\[\log(x^a) = a \cdot \log(x)\] Logarithmus einer Potenz
Quotientenregel
\[\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x) - \log(y)\] Logarithmus eines Quotienten
Ableitung
\[\frac{d}{dx}\log(x) = \frac{1}{x \ln(10)}\] Ableitung des dekadischen Logarithmus

Rechenbeispiel

Beispiel: log(100) berechnen

Gegeben:

  • x = 100
  • Gesucht: log(100)

Berechnung:

\[\log(100) = 2\] \[\text{da } 10^2 = 100\]

Interpretation: 2 ist der Exponent, den man für die Basis 10 benötigt, um 100 zu erhalten.

Wissenschaftliche Notation

Beispiel: Größenordnungen bestimmen

Problem:

Wie viele Stellen hat die Zahl 1.000.000? Bestimmen Sie die Größenordnung mit dem dekadischen Logarithmus.

Lösung:

\[\log(1.000.000) = \log(10^6) = 6\]
Die Zahl hat 7 Stellen (6+1)

Anwendung: Der dekadische Logarithmus wird häufig zur Bestimmung von Größenordnungen und in der wissenschaftlichen Notation verwendet.

pH-Wert Berechnung

Praktisches Beispiel: pH-Wert

Gegeben:

Wasserstoffionenkonzentration [H⁺] = 0.001 mol/L

pH-Wert:

\[\text{pH} = -\log([H^+])\] \[\text{pH} = -\log(0.001) = -\log(10^{-3}) = 3\]

Ergebnis: Die Lösung ist sauer mit pH = 3.

Definition und Anwendungen

Historischer Hintergrund

Der dekadische Logarithmus (auch Briggsscher Logarithmus genannt) zur Basis 10 war historisch der erste praktisch verwendete Logarithmus. Er wird auch als gemeiner Logarithmus bezeichnet.

Praktische Anwendungen

Dekadische Logarithmen werden in vielen Bereichen verwendet: pH-Wert-Berechnung, Dezibel-Skala, Richterskala, wissenschaftliche Notation, und überall dort, wo Größenordnungen eine Rolle spielen.

Mathematische Eigenschaften
  • Definitionsbereich: x > 0
  • Wertebereich: alle reellen Zahlen
  • Monotonie: streng monoton steigend
  • Stetigkeit: stetig auf (0, ∞)

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Logarithmus und Exponenten

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