N-te Wurzel

Rechner zur Berechnung der N-te Wurzel

N-te Wurzel Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion liefert als Resultat die n-te Wurzel ⁿ√x des Radikanden x mit dem angegebenen Wurzelexponenten n. Als Radikand muss eine nichtnegative reelle Zahl angegeben werden.

Eingabewerte



Ergebnis
Das Ergebnis wird mit der gewählten Anzahl Dezimalstellen angezeigt

N-te Wurzel Info

Eigenschaften

N-te Wurzel:

  • Verallgemeinerung der Quadratwurzel
  • Umkehrfunktion von x^n
  • Definiert für x ≥ 0 bei geradem n
  • Für alle x bei ungeradem n

Wichtig: Bei geradem Wurzelexponenten muss der Radikand nichtnegativ sein. Bei ungeradem Exponent sind auch negative Werte erlaubt.

Beispiele
³√8 = 2
2³ = 8 (Kubikwurzel)
⁴√16 = 2
2⁴ = 16 (vierte Wurzel)
⁵√32 = 2
2⁵ = 32 (fünfte Wurzel)
⁶√64 = 2
2⁶ = 64 (sechste Wurzel)
Besondere Fälle
  • n = 2: Quadratwurzel √x
  • n = 3: Kubikwurzel ³√x
  • Gerade n: x ≥ 0 erforderlich
  • Ungerade n: alle x erlaubt

Formeln der N-te Wurzel

Definition
\[\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\] N-te Wurzel als Potenz
Umkehrbeziehung
\[\sqrt[n]{x} = y \Leftrightarrow y^n = x\] Definition über n-te Potenz
Produktregel
\[\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}\] Wurzel eines Produkts
Quotientenregel
\[\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\] Wurzel eines Quotienten
Potenzregel
\[\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}\] Wurzel einer Potenz
Verschachtelte Wurzeln
\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}\] Zusammengesetzte Wurzeln

Rechenbeispiel

Beispiel: ³√64 berechnen

Gegeben:

  • Radikand x = 64
  • Wurzelexponent n = 3
  • Gesucht: ³√64

Berechnung:

\[\sqrt[3]{64} = 4\] \[\text{da } 4^3 = 64\]

Ergebnis: Die dritte Wurzel (Kubikwurzel) von 64 ist 4.

Potenzen von 2

Beispiel: Verschiedene Wurzeln von Zweierpotenzen

Potenzen von 2:

  • 2¹ = 2
  • 2² = 4
  • 2³ = 8
  • 2⁴ = 16
  • 2⁵ = 32
  • 2⁶ = 64

Entsprechende Wurzeln:

  • ¹√2 = 2
  • ²√4 = 2
  • ³√8 = 2
  • ⁴√16 = 2
  • ⁵√32 = 2
  • ⁶√64 = 2

Muster: Für 2ⁿ ist die n-te Wurzel immer 2.

Geometrisches Beispiel

Beispiel: Würfel-Kantenlänge bestimmen

Problem:

Ein Würfel hat ein Volumen von 125 cm³. Wie lang ist eine Kante?

Lösung:

\[\text{Volumen} = a^3 = 125\] \[a = \sqrt[3]{125} = 5 \text{ cm}\]

Anwendung: Die Kubikwurzel wird zur Bestimmung von Kantenlängen aus Volumina verwendet.

Definition und Eigenschaften

Allgemeine Definition

Die n-te Wurzel einer Zahl x ist diejenige Zahl y, die, wenn sie mit sich selbst n-mal multipliziert wird, x ergibt. Mathematisch: yⁿ = x, also y = ⁿ√x.

Unterscheidung nach Parität

Bei geradem n (2, 4, 6, ...) muss x ≥ 0 sein, da gerade Potenzen negativer Zahlen positiv sind. Bei ungeradem n (1, 3, 5, ...) können auch negative Werte für x verwendet werden.

Mathematische Eigenschaften
  • Gerades n: Definitionsbereich x ≥ 0
  • Ungerades n: Definitionsbereich ℝ
  • Monotonie: streng monoton steigend
  • Stetigkeit: stetig im Definitionsbereich

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