Loga, Logarithmus zur Basis a

Rechner und Formel zur Berechnung des Logarithmus zu einer angegebenen Basis

Logarithmus zur Basis a Rechner

Was wird berechnet?

Die Funktion Loga liefert den Logarithmus x zur Basis a des angegebenen Potenzwerts y. Beide Eingabewerte müssen positive reelle Zahlen sein, und die Basis darf nicht 1 sein.

Eingabewerte



Ergebnis
Das Ergebnis wird mit der gewählten Anzahl Dezimalstellen angezeigt

Logarithmus zur Basis a Info

Eigenschaften

Logarithmus zur Basis a:

  • Variable Basis: a > 0, a ≠ 1
  • Definitionsbereich: (0, ∞)
  • Wertebereich: (-∞, ∞)
  • Umkehrfunktion von a^x

Wichtig: Die Basis a muss positiv und ungleich 1 sein. Der Potenzwert y muss positiv sein.

Spezielle Beispiele
log₂(8) = 3
2³ = 8
log₃(27) = 3
3³ = 27
log₅(125) = 3
5³ = 125
log₁₆(256) = 2
16² = 256
Einschränkungen
  • Basis a ≠ 1 (sonst undefiniert)
  • Basis a > 0 (reelle Logarithmen)
  • Potenzwert y > 0 (reelle Ergebnisse)

Formeln des Logarithmus zur Basis a

Definition
\[\log_a(y) = x \Leftrightarrow a^x = y\] Grunddefinition
Basiswechselformel
\[\log_a(x) = \frac{\log(x)}{\log(a)} = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}\] Umrechnung über andere Basen
Produktregel
\[\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\] Logarithmus eines Produkts
Potenzregel
\[\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)\] Logarithmus einer Potenz
Quotientenregel
\[\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)\] Logarithmus eines Quotienten
Basiswechsel
\[\log_a(x) = \frac{1}{\log_x(a)}\] Reziproke Beziehung

Rechenbeispiel

Beispiel: log₁₆(256) berechnen

Gegeben:

  • Potenzwert y = 256
  • Basis a = 16
  • Gesucht: x = log₁₆(256)

Berechnung:

\[\log_{16}(256) = 2\] \[\text{da } 16^2 = 256\]

Interpretation: 2 ist der Exponent, den man für die Basis 16 benötigt, um 256 zu erhalten.

Binäres Beispiel

Beispiel: Informatik - Bits bestimmen

Problem:

Wie viele Bits werden benötigt, um 1024 verschiedene Werte darzustellen?

Lösung:

\[\text{Bits} = \log_2(1024) = 10\] \[\text{da } 2^{10} = 1024\]

Anwendung: Der Logarithmus zur Basis 2 wird häufig in der Informatik verwendet.

Wachstumsbeispiel

Beispiel: Exponentielles Wachstum

Gegeben:

Eine Population wächst um Faktor 3 pro Zeiteinheit. Nach welcher Zeit hat sie sich um Faktor 81 vergrößert?

Lösung:

\[3^t = 81\] \[t = \log_3(81) = 4\] \[\text{da } 3^4 = 81\]

Ergebnis: Nach 4 Zeiteinheiten hat sich die Population um Faktor 81 vergrößert.

Definition und Anwendungen

Allgemeine Definition

Der Logarithmus zur Basis a einer Zahl y ist der Exponent x, mit dem die Basis a potenziert werden muss, um y zu erhalten: a^x = y.

\[y = \log_a(x)\]
Praktische Anwendungen

Logarithmen zu verschiedenen Basen werden verwendet in: Informatik (Basis 2), Chemie (pH-Wert, Basis 10), Exponentialfunktionen, Halbwertszeiten, und Skalierungen.

Wichtige Eigenschaften
  • loga(1) = 0 für alle a > 0, a ≠ 1
  • loga(a) = 1 für alle a > 0, a ≠ 1
  • loga(a^n) = n für alle reellen n
  • a^(loga(x)) = x für x > 0

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Logarithmus und Exponenten

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