Quadratwurzel

Rechner zur Berechnung einer Quadratwurzel

Quadratwurzel Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion liefert als Resultat die Quadratwurzel des angegebenen Arguments (Radikand). Als Argument muss eine nichtnegative reelle Zahl angegeben werden.

Eingabewerte


Ergebnis
Das Ergebnis wird mit der gewählten Anzahl Dezimalstellen angezeigt

Quadratwurzel Info

Eigenschaften

Quadratwurzel:

  • Umkehrfunktion von x²
  • Definiert für x ≥ 0
  • Ergebnis ist immer positiv
  • Streng monoton steigend

Wichtig: Für negative oder komplexe Zahlen gibt es eine separate Wurzelfunktion.

Beispiele
√4 = 2
2² = 4
√9 = 3
3² = 9
√16 = 4
4² = 16
√25 = 5
5² = 25
Erweiterte Funktionen

Für komplexe oder negative Zahlen steht eine separate Wurzelfunktion zur Verfügung: → Komplexe Quadratwurzel

Formeln der Quadratwurzel

Definition
\[\sqrt{x} = x^{1/2}\] Quadratwurzel als Potenz
Umkehrbeziehung
\[\sqrt{x} = y \Leftrightarrow y^2 = x\] Definition über Quadrierung
Produktregel
\[\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\] Wurzel eines Produkts
Quotientenregel
\[\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\] Wurzel eines Quotienten
Potenzregel
\[\sqrt{x^a} = x^{a/2}\] Wurzel einer Potenz
Ableitung
\[\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\] Ableitung der Quadratwurzel

Rechenbeispiel

Beispiel: √16 berechnen

Gegeben:

  • Radikand = 16
  • Gesucht: √16

Berechnung:

\[\sqrt{16} = 4\] \[\text{da } 4^2 = 16\]

Ergebnis: Die Quadratwurzel von 16 ist 4.

Geometrisches Beispiel

Beispiel: Seitenlänge eines Quadrats

Problem:

Ein Quadrat hat eine Fläche von 25 cm². Wie lang ist eine Seite?

Lösung:

\[\text{Fläche} = s^2 = 25\] \[s = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}\]

Anwendung: Die Quadratwurzel wird häufig in der Geometrie zur Berechnung von Seitenlängen verwendet.

Satz des Pythagoras

Beispiel: Hypotenuse berechnen

Gegeben:

Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a = 3 und b = 4

Hypotenuse c:

\[c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25\] \[c = \sqrt{25} = 5\]

Ergebnis: Die Hypotenuse hat eine Länge von 5 Einheiten.

Definition zur Quadratwurzel

Eindeutigkeit der Lösung

Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit der angegebenen Zahl übereinstimmen. Zum Beispiel ist (-3)² = (-3) · (-3) = 9 ebenso wie 3² = 3 · 3 = 9.

Einschränkung auf positive Werte

Beim Rechnen mit reellen Zahlen kann daher nur die Wurzel aus positiven Zahlen gezogen werden. Das Resultat ist auch immer positiv (Hauptwert der Quadratwurzel).

Wichtige Eigenschaften
  • Definitionsbereich: x ≥ 0
  • Wertebereich: y ≥ 0
  • Monotonie: streng monoton steigend
  • Stetigkeit: stetig auf [0, ∞)

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