Effektivwert einer Rechteckspannung

Rechner und Formeln zur Berechnung vom Effektivwert einer Rechteckspannung

Rechteckspannung Rechner

Rechteckspannung (50% Tastverhältnis)

Es wird davon ausgegangen, dass die Impulsdauer (ti) und die Pause (tp) die gleiche Länge haben (50% Tastverhältnis).

V
Ergebnisse
Effektivspannung:
Mittelspannung:

Rechteckspannung & Parameter

Rechteckspannung
Parameter
\(\displaystyle U_s\) = Spitzenspannung [V]
\(\displaystyle U_{eff}\) = Effektivspannung [V]
\(\displaystyle U_m\) = Mittelspannung [V]
\(\displaystyle t_i\) = Impulsdauer (50% der Periode)
\(\displaystyle t_p\) = Pausendauer (50% der Periode)
Formeln (50% Tastverhältnis)
\[U_{eff} = \frac{U_s}{\sqrt{2}}\]
\[U_m = \frac{U_s}{2}\]

Beispielrechnungen

Praktische Rechenbeispiele

Beispiel 1: Standard Rechteckspannung

Gegeben: Us = 10V (50% Tastverhältnis)

\[U_{eff} = \frac{10V}{\sqrt{2}} = \frac{10V}{1{,}414} = 7{,}07V\]
\[U_m = \frac{10V}{2} = 5{,}0V\]
Typische Rechteckspannung mit gleichen Impuls- und Pausenzeiten
Beispiel 2: Digitale Logikspannung

Gegeben: Us = 5V (TTL-Pegel, 50% duty cycle)

\[U_{eff} = \frac{5V}{\sqrt{2}} = 3{,}54V\]
\[U_m = \frac{5V}{2} = 2{,}5V\]
Häufig in der Digitaltechnik bei Taktsignalen
Beispiel 3: Symmetrische Wechselspannung

Gegeben: Us = 10V (±5V Rechteck-Wechselspannung)

\[U_{eff} = U_s = 10V\] (bei symmetrischer Wechselspannung)
\[U_m = 0V\] (Mittelwert ist null)
Bei ±Us ist Ueff = Us
Vergleich der Rechteckspannungsarten
Rechteck-Impulsspannung (0V bis Us):
Ueff: Us/√2 ≈ 0,707 · Us
Um: Us/2 = 0,5 · Us
Anwendung: Digitaltechnik, PWM
Rechteck-Wechselspannung (-Us bis +Us):
Ueff: Us = 1,0 · Us
Um: 0V (symmetrisch)
Anwendung: Wechselrichter, Inverter

Formeln zur Rechteckspannung

Was ist eine Rechteckspannung?

Der Effektivwert einer Rechteckimpulsspannung hängt von der Art und Weise ab, wie die Spannung sich mit der Zeit verändert. Eine Rechteckimpulsspannung hat in der Regel einen festen Spitzenwert Us und variiert zwischen zwei Spannungswerten über die Zeit, zum Beispiel Us und 0 V oder Us und -Us.

Der Rechner oben berechnet die Variante mit Us und 0 V. Die Zeit von Us und 0 V (ti und tp) ist je 50%. Einen Rechner für die Variante mit variabler Impulslänge finden Sie hier.

Definition des Effektivwerts

Der Effektivwert ist definiert als Gleichstromwert mit der gleichen Wärmewirkung wie der betrachtete Wechselstrom.

Rechteck-Impulsspannung (0V bis Us)

Rechteck-Impulsspannung

Der Effektivwert beträgt bei Rechteckspannungen deren Impulsdauer (ti) und Pause (tp) die gleiche Länge haben:

Effektivwert
\[U_{eff} = \frac{U_s}{\sqrt{2}}\]

Etwa 70,7% der Spitzenspannung.

Mittelwert
\[U_m = \frac{U_s}{2}\]

Die halbe Spitzenspannung.

Rechteck-Wechselspannung (-Us bis +Us)

Rechteck-Wechselspannung

Bei einer symmetrischen Rechteck-Wechselspannung ist der Effektivwert gleich dem Spitzenwert:

Symmetrische Wechselspannung
\[U_{eff} = U_s\]

Da die Spannung in beiden Fällen denselben Betrag (aber mit unterschiedlichem Vorzeichen) hat, bleibt der Effektivwert gleich dem Amplitudenwert der Rechteckspannung.

Der Mittelwert ist bei einer symmetrischen Rechteck-Wechselspannung immer 0 Volt.

Mathematische Herleitung

Berechnung des Effektivwerts

Für eine Rechteckspannung mit 50% Tastverhältnis über eine Periode T:

\[U_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T u^2(t) \, dt}\]
Für 0 ≤ t ≤ T/2: u(t) = Us
Für T/2 < t ≤ T: u(t) = 0
\[U_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^{T/2} U_s^2 \, dt} = U_s \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{U_s}{\sqrt{2}}\]

Praktische Anwendungen

Digitaltechnik
  • TTL/CMOS Logikpegel
  • Taktsignale (50% duty cycle)
  • Datenübertragung
  • Mikrocontroller-Ausgänge
Leistungselektronik
  • Wechselrichter
  • DC-AC Wandler
  • H-Brücken
  • Motoransteuerung
Signalverarbeitung
  • Modulationsverfahren
  • Referenzsignale
  • Testsignale
  • Kalibrierung

Spektrale Eigenschaften

Harmonische bei Rechteckspannungen

Rechteckspannungen enthalten alle ungeraden Harmonischen:

\[u(t) = \frac{4U_s}{\pi} \sum_{n=1,3,5...}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(n\omega t)\]
Grundwelle: 4Us/π ≈ 1,273 · Us
3. Harmonische: 4Us/(3π) ≈ 0,424 · Us
5. Harmonische: 4Us/(5π) ≈ 0,255 · Us

Design-Hinweise

Praktische Überlegungen
  • Verlustleistung: P = Ueff²/R - bei 50% duty cycle reduziert
  • EMV: Rechteckspannungen erzeugen viele Harmonische
  • Filterung: Tiefpässe zur Harmonischen-Unterdrückung notwendig
  • Schaltzeiten: Reale Rechteckspannungen haben endliche Flankenzeiten
  • Kopplung: Transformatoren für AC-Übertragung geeignet
  • Messtechnik: True-RMS Messgeräte für korrekte Effektivwert-Messung

Wechselstrom Funktionen

Kenngrößen der Wechselspannung • Frequenz und Periodendauer • Frequenz und Wellenlänge • Spannungswert zu einem Winkel • Spannungswert an einem Zeitpunkt • Effektivwert einer Sinusschwingung • Effektivwert einer Sinusschwingung mit Offset • Effektivwert eines Sinusimpuls (Einweg) • Effektivwert eines Sinusimpuls (Zweiweg) • Effektivwert einer Rechteckspannung • Effektivwert eines Rechteckimpuls • Effektivwert einer Dreieckspannung • Effektivwert eines Dreieckimpuls • Effektivwert Sägezahnspannung • Effektivwert eines Sägezahnimpuls