Vektor Addition

Rechner und Formel zur Addition von 2D-, 3D- und 4D-Vektoren

Vektor Rechner

Komponentenweise Vektoraddition

Mit diesem Rechner können Vektoren verschiedener Dimensionen durch komponentenweise Addition berechnet werden.

Wählen Sie die Vektordimension
Erster Vektor (v₁)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Zweiter Vektor (v₂)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Additionsergebnis
X:
Y:
Z:
W:
Komponenten werden einzeln addiert: v₁ + v₂ = [x₁+x₂, y₁+y₂, ...]

Vektor-Addition Info

Vektor Eigenschaften

Komponentenweise: Entsprechende Komponenten werden addiert

Kommutativ Assoziativ Nullvektor

Voraussetzung: Gleiche Anzahl Komponenten
Resultat: Neuer Vektor gleicher Dimension

Beispiel
[2, 4, 1] + [3, 5, 2] = [5, 9, 3]
[1, -2] + [3, 4] = [4, 2]
[0, 0, 0] + [x, y, z] = [x, y, z]

Formeln für Vektoraddition

2D Vektoraddition
\[\left[\matrix{a\\b}\right] + \left[\matrix{c\\d}\right] = \left[\matrix{a+c\\b+d}\right]\]

Addition in der Ebene

3D Vektoraddition
\[\left[\matrix{a\\b\\c}\right] + \left[\matrix{x\\y\\z}\right] = \left[\matrix{a+x\\b+y\\c+z}\right]\]

Addition im Raum

4D Vektoraddition
\[\left[\matrix{a\\b\\c\\d}\right] + \left[\matrix{w\\x\\y\\z}\right] = \left[\matrix{a+w\\b+x\\c+y\\d+z}\right]\]

Höherdimensionale Addition

Allgemeine Regel
\[\vec{v_1} + \vec{v_2} = \sum_{i} (v_{1i} + v_{2i})\vec{e_i}\]

Komponentenweise Addition

Rechenbeispiele für Vektoraddition

Beispiel 1: 3D Addition
[2, 4, 1] + [3, 5, 2]
\[\vec{v_1} + \vec{v_2} = \left[\matrix{2+3\\4+5\\1+2}\right] = \left[\matrix{5\\9\\3}\right]\]

Ergebnis: [5, 9, 3]

Beispiel 2: 2D Addition
[1, -3] + [-2, 5]
\[\vec{u} + \vec{w} = \left[\matrix{1+(-2)\\-3+5}\right] = \left[\matrix{-1\\2}\right]\]

Ergebnis: [-1, 2]

Schritt-für-Schritt Berechnung
X: 2 + 3 = 5
Y: 4 + 5 = 9
Z: 1 + 2 = 3

Jede Komponente wird separat addiert

Anwendungen der Vektoraddition

Vektoraddition ist fundamental in vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen:

Physik & Mechanik
  • Kraftvektoren und Kräftezerlegung
  • Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren
  • Elektrische und magnetische Felder
  • Wellenvektoren und Impuls
Computer Graphics
  • 3D-Objekttransformation
  • Animation und Bewegungsberechnung
  • Beleuchtung und Schattierung
  • Kollisionserkennung
Navigation
  • GPS-Positionsberechnung
  • Flugbahn- und Routenplanung
  • Wind- und Strömungskorrektur
  • Koordinatentransformation
Robotik
  • Roboterarm-Steuerung
  • Pfadplanung und Bewegung
  • Sensor-Datenverarbeitung
  • Inverse Kinematik

Vektoraddition: Grundlage der linearen Algebra

Die Vektoraddition ist eine fundamentale Operation der linearen Algebra, die Vektoren komponentenweise addiert. Diese Operation bildet zusammen mit der Skalarmultiplikation die Grundlage für Vektorräume und ermöglicht die mathematische Beschreibung von Richtungen, Kräften und Bewegungen in mehrdimensionalen Räumen.

Zusammenfassung

Die Vektoraddition verbindet geometrische Anschauung mit algebraischer Präzision. Die einfache Regel - entsprechende Komponenten addieren - ermöglicht komplexe Berechnungen in Physik, Computergrafik und Ingenieurswesen. Von der 2D-Grafik über 3D-Modellierung bis zur hochdimensionalen Datenanalyse bleibt die Vektoraddition ein unverzichtbares mathematisches Werkzeug. Sie zeigt, wie elementare Operationen die Grundlage für fortgeschrittene wissenschaftliche und technische Anwendungen bilden können.

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Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt