Vektor Skalar Multiplikation

Rechner und Formel zur Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (reelle Zahl)

Vektor Skalar Multiplikation Rechner

Vektor mit Skalar Multiplikation

Multipliziert einen Vektor v mit einem Skalar k: k × v = [k×x, k×y, k×z]

Wählen Sie die Vektordimension
Zu multiplizierender Vektor (v)
X-Wert des Vektors
Y-Wert des Vektors
Z-Wert des Vektors
W-Wert des Vektors
Multiplikator (Skalar k)
Reelle Zahl (Multiplikator)
k > 0: Richtung erhalten,     k < 0: Richtung umgekehrt
Skalar-Multiplikationsergebnis
X:
Y:
Z:
W:
Skalierter Vektor:
Jede Komponente wird mit dem Skalar multipliziert: k × v = [k×x, k×y, ...]

Skalar Multiplikation Info

Skalar Multiplikation Eigenschaften

Skalierung: Verändert die Länge des Vektors

k > 0: Richtung ↑ k < 0: Richtung ↓ Skalar

Vergrößerung: |k| > 1 macht Vektor länger
Verkleinerung: |k| < 1 macht Vektor kürzer

Beispiele
[2, 3, 4] × 5 = [10, 15, 20]
[1, -2] × (-3) = [-3, 6]
[x, y, z] × 0 = [0, 0, 0]

Formeln für Vektor-Skalar-Multiplikation

Grundformel
\[k \cdot \vec{v} = k \cdot \left[\matrix{x\\y\\z}\right]\]

Skalar multipliziert mit Vektor

2D Skalar Multiplikation
\[k \cdot \left[\matrix{x\\y}\right] = \left[\matrix{k \cdot x\\k \cdot y}\right]\]

Komponentenweise Multiplikation

3D Skalar Multiplikation
\[k \cdot \left[\matrix{x\\y\\z}\right] = \left[\matrix{k \cdot x\\k \cdot y\\k \cdot z}\right]\]

Dreidimensionale Skalierung

Betrag nach Multiplikation
\[|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|\]

Betrag wird mit |k| multipliziert

Rechenbeispiele für Vektor-Skalar-Multiplikation

Beispiel 1: Positive Skalierung
[2, 3, 4] × 5
\[5 \cdot \left[\matrix{2\\3\\4}\right] = \left[\matrix{5 \cdot 2\\5 \cdot 3\\5 \cdot 4}\right] = \left[\matrix{10\\15\\20}\right]\]

Ergebnis: [10, 15, 20] - Vektor wird 5× länger

Beispiel 2: Negative Skalierung
[3, -6] × (-2)
\[-2 \cdot \left[\matrix{3\\-6}\right] = \left[\matrix{-2 \cdot 3\\-2 \cdot (-6)}\right] = \left[\matrix{-6\\12}\right]\]

Ergebnis: [-6, 12] - Richtung umgekehrt, 2× länger

Geometrische Interpretation
k > 1: Vergrößerung
Vektor wird länger
0 < k < 1: Verkleinerung
Vektor wird kürzer
k < 0: Umkehrung
Richtung wird umgekehrt
k = 0: Nullvektor
Vektor wird zu [0,0,...]

Die Multiplikation skaliert den Vektor proportional und kann seine Richtung umkehren

Spezialfälle und wichtige Werte
k = 1

• v × 1 = v

• Vektor bleibt unverändert

• Identitätsoperation

k = 0

• v × 0 = [0, 0, ...]

• Wird zum Nullvektor

• Länge wird Null

k = -1

• v × (-1) = -v

• Richtung umgekehrt

• Gleiche Länge

k = 0.5

• v × 0.5 = v/2

• Halbiert die Länge

• Richtung erhalten

Anwendungen der Vektor-Skalar-Multiplikation

Vektor-Skalar-Multiplikation ist eine grundlegende Operation in vielen Bereichen:

Computer Graphics & Animation
  • 3D-Objekt Skalierung und Größenänderung
  • Geschwindigkeitsvektoren anpassen
  • Kamera-Zoom und Perspektive
  • Beleuchtungsintensität skalieren
Physik & Ingenieurswesen
  • Kraftvektoren verstärken oder abschwächen
  • Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
  • Elektrische und magnetische Felder
  • Momenten- und Drehmomentberechnungen
Mathematik & Datenverarbeitung
  • Lineare Algebra und Transformationen
  • Feature-Scaling in Machine Learning
  • Statistische Gewichtungen
  • Signalverarbeitung und Amplification
Robotik & Automatisierung
  • Bewegungsgeschwindigkeiten steuern
  • Kraft- und Drehmoment-Regulation
  • Pfadplanung und Trajektorien
  • Sensor-Daten kalibrieren

Vektor-Skalar-Multiplikation: Proportionale Skalierung im Vektorraum

Die Vektor-Skalar-Multiplikation ist eine fundamentale Operation der linearen Algebra, die einen Vektor mit einer reellen Zahl (Skalar) multipliziert. Diese Operation bewirkt eine gleichmäßige Skalierung aller Vektorkomponenten und verändert somit die Länge des Vektors proportional zum Betrag des Skalars. Bei positiven Skalaren bleibt die Richtung erhalten, bei negativen wird sie umgekehrt. Diese elegante Eigenschaft macht die Operation unverzichtbar für Skalierungen, Verstärkungen und Richtungsumkehrungen in verschiedensten Anwendungsbereichen.

Zusammenfassung

Die Vektor-Skalar-Multiplikation verbindet mathematische Eleganz mit praktischer Vielseitigkeit. Die intuitive Regel - jede Komponente mit dem Skalar multiplizieren - ermöglicht präzise Größen- und Richtungsanpassungen in beliebigen Dimensionen. Von der 3D-Grafik über physikalische Simulationen bis zur Robotersteuerung bietet die Skalar-Multiplikation eine direkte Methode zur proportionalen Vektormanipulation. Sie zeigt, wie fundamentale mathematische Operationen komplexe Skalierungs-, Verstärkungs- und Steuerungsprobleme elegant und effizient lösen können.

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Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt