Vektor Kreuzprodukt berechnen

Rechner und Formel zur Berechnung des Kreuzprodukts zweier 3D-Vektoren

Vektor Kreuzprodukt Rechner

3D Vektor Kreuzprodukt (Cross Product)

Berechnet das Kreuzprodukt v₁ × v₂ zweier 3D-Vektoren und erzeugt einen orthogonalen Vektor: v₁ × v₂ ⊥ v₁ und v₁ × v₂ ⊥ v₂

Nur für 3D-Vektoren

Das Kreuzprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert. Es erzeugt einen neuen Vektor, der senkrecht zu beiden Eingabevektoren steht.

Erster Vektor (v₁)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
Zweiter Vektor (v₂)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
Kreuzprodukt-Ergebnis
X:
Y:
Z:
Kreuzproduktvektor:
Betrag |v₁ × v₂|:
Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor, der orthogonal zu beiden Eingabevektoren ist.

Kreuzprodukt Info

Kreuzprodukt Eigenschaften

Orthogonal: Ergebnis steht senkrecht zu beiden Vektoren

v₁ × v₂ ⊥ v₁ v₁ × v₂ ⊥ v₂ Nur 3D

Nicht kommutativ: v₁ × v₂ = -(v₂ × v₁)
3D spezifisch: Nur für dreidimensionale Vektoren

Rechte-Hand-Regel
Daumen: Richtung v₁
Zeigefinger: Richtung v₂
Mittelfinger: Richtung v₁ × v₂

Formeln für das Kreuzprodukt

Kreuzprodukt Formel
\[\vec{a} \times \vec{b} = \left[\matrix{a_2b_3 - a_3b_2\\a_3b_1 - a_1b_3\\a_1b_2 - a_2b_1}\right]\]

Komponentenweise Berechnung

Determinanten-Form
\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}\]

Mit Einheitsvektoren

Betrag des Kreuzprodukts
\[|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\]

Geometrische Interpretation

Parallelogramm-Fläche
\[A = |\vec{a} \times \vec{b}|\]

Fläche des aufgespannten Parallelogramms

Rechenbeispiele für das Kreuzprodukt

Beispiel 1: Standardvektoren
v₁ = [1, 2, 3], v₂ = [7, 8, 9]
\[\begin{aligned} v₁ × v₂ &= \left[\matrix{2 \cdot 9 - 3 \cdot 8\\3 \cdot 7 - 1 \cdot 9\\1 \cdot 8 - 2 \cdot 7}\right] \\ &= \left[\matrix{18 - 24\\21 - 9\\8 - 14}\right] = \left[\matrix{-6\\12\\-6}\right] \end{aligned}\]

Ergebnis: [-6, 12, -6]

Beispiel 2: Mit Betrag
v₁ = [1, -4, 5], v₂ = [3, 5, 2]
\[\begin{aligned} v₁ × v₂ &= \left[\matrix{(-4) \cdot 2 - 5 \cdot 5\\5 \cdot 3 - 1 \cdot 2\\1 \cdot 5 - (-4) \cdot 3}\right] \\ &= \left[\matrix{-8 - 25\\15 - 2\\5 + 12}\right] = \left[\matrix{-33\\13\\17}\right] \end{aligned}\]

|v₁ × v₂| = √((-33)² + 13² + 17²) = √1547 ≈ 39.33

Schritt-für-Schritt Berechnung
X: a₂b₃ - a₃b₂
Y: a₃b₁ - a₁b₃
Z: a₁b₂ - a₂b₁

Jede Komponente wird nach der Kreuzprodukt-Formel berechnet

Wichtige Eigenschaften
Anti-kommutativ

• v₁ × v₂ = -(v₂ × v₁)

• Reihenfolge ändert das Vorzeichen

Orthogonalität

• (v₁ × v₂) ⊥ v₁

• (v₁ × v₂) ⊥ v₂

Parallelität

• v × v = 0 (Nullvektor)

• Parallele Vektoren: v₁ × v₂ = 0

Anwendungen des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt ist fundamental in vielen Bereichen der Physik und Technik:

Mechanik & Physik
  • Drehmoment: τ = r × F
  • Drehimpuls: L = r × p
  • Lorentz-Kraft: F = q(v × B)
  • Flächennormalen und Oberflächenberechnungen
Computer Graphics
  • Oberflächennormalen für Beleuchtung
  • Backface Culling und Sichtbarkeit
  • 3D-Transformationen und Orientierung
  • Kollisionsdetektion und Reflexionen
Geometrie & CAD
  • Flächenberechnungen von Polygonen
  • Normale zu Oberflächen und Ebenen
  • Volumenberechnungen (Spatprodukt)
  • Orthogonale Projektionen
Robotik & Navigation
  • Orientierung und Rotation von Objekten
  • Koordinatensystem-Transformationen
  • Pfadplanung und Hindernisvermeidung
  • Gyroskop- und Beschleunigungssensoren

Kreuzprodukt: Orthogonalität im dreidimensionalen Raum

Das Kreuzprodukt ist eine einzigartige Operation des dreidimensionalen Raums, die aus zwei Vektoren einen dritten erzeugt, der orthogonal zu beiden ursprünglichen Vektoren steht. Diese fundamentale Eigenschaft macht es unverzichtbar für Anwendungen von der klassischen Mechanik über Computer Graphics bis zur modernen Robotik. Die geometrische Interpretation als Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms verbindet algebraische Berechnung mit anschaulicher Geometrie.

Zusammenfassung

Das Kreuzprodukt vereint mathematische Eleganz mit praktischer Bedeutung. Die Formel - systematische Kombination der Vektorkomponenten - erzeugt garantiert orthogonale Ergebnisse und ermöglicht präzise Berechnungen von Drehmomenten, Oberflächennormalen und Orientierungen. Von der Physik-Engine über CAD-Systeme bis zur Robotersteuerung bleibt das Kreuzprodukt ein unverzichtbares Werkzeug. Es zeigt, wie spezialisierte mathematische Operationen komplexe räumliche Probleme elegant lösen können.

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Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt