Vektor Interpolation berechnen

Rechner und Formel zur linearen Interpolation zwischen zwei Vektoren (LERP)

Vektor Interpolation Rechner

Lineare Vektorinterpolation (LERP)

Berechnet einen Zwischenvektor zwischen zwei Vektoren durch lineare Interpolation: lerp(v₁, v₂, t) = v₁ + t(v₂ - v₁)

Wählen Sie die Vektordimension
Startvektor (v₁)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Zielvektor (v₂)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Gewichtung zwischen 0 und 1 (0 = v₁, 1 = v₂)
t = 0.2 (näher zu v₁)
Interpolationsergebnis
X:
Y:
Z:
W:
Interpolierter Vektor:
Berechnung: lerp(v₁, v₂, t) = v₁ + t(v₂ - v₁)

Interpolation Info

LERP Eigenschaften

Parameter t: Gewichtung zwischen den Vektoren

t = 0 → v₁ t = 1 → v₂ Linear

Position: t ∈ [0,1] zwischen Vektoren
Extrapolation: t < 0 oder t > 1

t-Werte Bedeutung
t = 0.0: Startvektor v₁
t = 0.5: Mittelpunkt zwischen v₁ und v₂
t = 1.0: Zielvektor v₂

Formeln für Vektorinterpolation

LERP Grundformel
\[\text{lerp}(\vec{v_1}, \vec{v_2}, t) = \vec{v_1} + t(\vec{v_2} - \vec{v_1})\]

Lineare Interpolation zwischen zwei Vektoren

Alternative Darstellung
\[\text{lerp}(\vec{v_1}, \vec{v_2}, t) = (1-t)\vec{v_1} + t\vec{v_2}\]

Gewichtete Summe der Vektoren

Komponentenweise
\[\text{lerp}_i = v_{1i} + t(v_{2i} - v_{1i})\]

Jede Komponente einzeln interpoliert

3D Beispiel
\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + t(x_2-x_1) \\ y_1 + t(y_2-y_1) \\ z_1 + t(z_2-z_1) \end{bmatrix}\]

3D Vektorinterpolation

Rechenbeispiele für Vektorinterpolation

Beispiel 1: Mittelpunkt
v₁ = [2, 4], v₂ = [6, 8], t = 0.5
\[\begin{aligned} \text{lerp} &= [2, 4] + 0.5([6, 8] - [2, 4]) \\ &= [2, 4] + 0.5[4, 4] \\ &= [2, 4] + [2, 2] = [4, 6] \end{aligned}\]

Ergebnis: [4, 6] (Mittelpunkt)

Beispiel 2: 20% Interpolation
v₁ = [2, 4, 1], v₂ = [3, 5, 2], t = 0.2
\[\begin{aligned} \text{lerp} &= [2, 4, 1] + 0.2([3, 5, 2] - [2, 4, 1]) \\ &= [2, 4, 1] + 0.2[1, 1, 1] \\ &= [2.2, 4.2, 1.2] \end{aligned}\]

Ergebnis: [2.2, 4.2, 1.2] (näher zu v₁)

Geometrische Interpretation
t = 0: Startpunkt
Am Vektor v₁
t = 0.5: Mitte
Zwischen v₁ und v₂
t = 1: Endpunkt
Am Vektor v₂

Die Interpolation erzeugt einen Punkt auf der Geraden zwischen den Vektoren

t-Parameter Verständnis
t ∈ [0, 1]

• Interpolation zwischen den Vektoren

• Resultat liegt auf der Verbindungsstrecke

• Sicher und vorhersagbar

t < 0

• Extrapolation über v₁ hinaus

• Verlängert die Linie rückwärts

• Resultat außerhalb der Strecke

t > 1

• Extrapolation über v₂ hinaus

• Verlängert die Linie vorwärts

• Resultat außerhalb der Strecke

Anwendungen der Vektorinterpolation

Vektorinterpolation (LERP) ist eine fundamentale Technik in vielen Bereichen:

Computer Graphics & Animation
  • Objektbewegungen und Pfadanimationen
  • Kamera-Smoothing und Übergangseffekte
  • Farbverläufe und Shader-Interpolation
  • Keyframe-Animation zwischen Posen
Robotik & Steuerung
  • Pfadplanung und Trajektorien
  • Smooth Motion Control
  • Roboterarm-Positionierung
  • Geschwindigkeitsprofile
Datenverarbeitung
  • Zeitreihen-Interpolation
  • Fehlende Datenpunkte schätzen
  • Signal-Glättung und Filtering
  • Numerische Approximation
Ingenieurswesen
  • CAD-Systeme und Kurvendesign
  • Finite-Element-Methoden
  • Strömungssimulationen
  • Strukturelle Übergänge

Vektorinterpolation: Lineare Übergänge im Vektorraum

Die lineare Vektorinterpolation (LERP) ist eine fundamentale Methode zur Berechnung von Zwischenpunkten auf einer geraden Linie zwischen zwei Vektoren. Diese elegante Technik ermöglicht sanfte Übergänge und kontinuierliche Bewegungen in Anwendungen von Computer Graphics über Robotik bis zur numerischen Simulation. Der Parameter t steuert dabei präzise die Position des resultierenden Vektors entlang der Verbindungslinie.

Zusammenfassung

Die Vektorinterpolation vereint mathematische Eleganz mit praktischer Vielseitigkeit. Die einfache LERP-Formel - gewichtete Kombination zweier Vektoren - ermöglicht präzise Kontrolle über Übergänge und Bewegungen in beliebigen Dimensionen. Von der 2D-Animation über 3D-Robotik bis zur hochdimensionalen Datenanalyse bleibt LERP ein unverzichtbares Werkzeug. Die Methode zeigt, wie grundlegende mathematische Konzepte die Basis für fortgeschrittene Anwendungen in Technik und Wissenschaft bilden.

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Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt