Vektor Spiegelung berechnen

Rechner und Formel zur Reflexion eines Vektors an einer Oberfläche mit gegebener Normale

Vektor Spiegelung Rechner

Vektor Spiegelung (Reflexion)

Berechnet die Reflexion eines Vektors v an einer Oberfläche mit Normalvektor n: r = v - 2(v·n)n

Reflexion an einer Oberfläche

Der erste Vektor wird an der Oberfläche gespiegelt, deren Normalvektor durch den zweiten Vektor gegeben ist. Das Ergebnis ist der reflektierte Vektor.

Wählen Sie die Vektordimension
Spiegelung in der Ebene
Spiegelung im 3D-Raum
Zu spiegelnder Vektor (v)
X-Wert
Y-Wert
Z-Wert
Normalvektor (n)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
Hinweis: Der Normalvektor muss nicht normiert sein
Spiegelungsergebnis
X:
Y:
Z:
Reflektierter Vektor:
Spiegelungsformel: r = v - 2(v·n̂)n̂ (mit normiertem Normalvektor n̂)

Spiegelung Info

Spiegelung Eigenschaften

Reflexion: Vektor wird an einer Oberfläche gespiegelt

Reflexion Normalvektor Oberfläche

Erhaltung: Betrag bleibt gleich |r| = |v|
Winkel: Einfallswinkel = Ausfallswinkel

Reflexionsgesetze
📐 Einfallswinkel = Ausfallswinkel
📏 Gleicher Betrag: |v| = |r|
⊥ Normale steht senkrecht zur Oberfläche
Anwendungsbeispiele
Optik: Lichtreflexion an Spiegeln
Billard: Ballreflexion an Banden
3D-Grafik: Ray Tracing

Formeln für Vektor-Spiegelung

Reflexionsformel
\[\vec{r} = \vec{v} - 2(\vec{v} \cdot \hat{n})\hat{n}\]

Mit normiertem Normalvektor n̂

Allgemeine Form
\[\vec{r} = \vec{v} - 2\frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{n}\]

Für beliebigen Normalvektor n

Skalarprodukt
\[\vec{v} \cdot \vec{n} = v_x n_x + v_y n_y + v_z n_z\]

Zur Berechnung der Projektion

Betragserhaltung
\[|\vec{r}| = |\vec{v}|\]

Der Betrag bleibt bei Spiegelung erhalten

Rechenbeispiele für Vektor-Spiegelung

Beispiel 1: 2D Spiegelung
v=[3,4], n=[1,0]
\[\begin{aligned} \vec{v} \cdot \hat{n} &= 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 3 \\ \vec{r} &= [3,4] - 2 \cdot 3 \cdot [1,0] \\ &= [3,4] - [6,0] = [-3,4] \end{aligned}\]

Spiegelung an der y-Achse

Beispiel 2: 3D Spiegelung
v=[1,-4,5], n=[0,1,0]
\[\begin{aligned} \vec{v} \cdot \hat{n} &= 1 \cdot 0 + (-4) \cdot 1 + 5 \cdot 0 = -4 \\ \vec{r} &= [1,-4,5] - 2 \cdot (-4) \cdot [0,1,0] \\ &= [1,-4,5] + [0,8,0] = [1,4,5] \end{aligned}\]

Spiegelung an der xz-Ebene

Geometrische Interpretation
n⊥Oberfläche
Normale steht senkrecht
α_ein = α_aus
Gleiche Winkel
|v| = |r|
Betragserhaltung
r·n ≤ 0
Richtungsumkehr

Die Spiegelung folgt den klassischen Reflexionsgesetzen

Spezialfälle der Spiegelung
v ⊥ n

• v·n = 0

• Keine Reflexion

• r = v (parallel zur Oberfläche)

v ∥ n

• Senkrechter Einfall

• r = -v

• Vollständige Umkehrung

45° Winkel

• Diagonale Reflexion

• Klassischer Fall

• Wie Billardball

n nicht normiert

• Formel anpassen

• Durch |n|² teilen

• Automatisch korrekt

Anwendungen der Vektor-Spiegelung

Vektor-Spiegelung ist fundamental in vielen Bereichen der Physik, Optik und Computergrafik:

Optik & Beleuchtung
  • Lichtreflexion an Spiegeln und Oberflächen
  • Reflexionsgesetze in der Optik
  • Laser- und Strahlenoptik
  • Kameralinsen und Teleskope
Computer Graphics
  • Ray Tracing und Rendering
  • Specular Reflection (Glanzreflexion)
  • 3D-Spiegeleffekte und Reflektionen
  • Realistische Oberflächenschattierung
Physik & Mechanik
  • Ballsport: Reflexion von Bällen
  • Kollisionsdetektion und -antwort
  • Wellenreflexion (Schall, Wasser)
  • Elastische Stöße und Reflexion
Ingenieurswesen
  • Radar- und Sonar-Systeme
  • Antennentechnik und Signalreflexion
  • Akustik: Schallreflexion
  • Architektur: Lichtführung und Reflexion

Vektor-Spiegelung: Reflexion in der linearen Algebra

Die Vektor-Spiegelung ist eine fundamentale geometrische Transformation, die einen Vektor an einer Ebene oder Geraden reflektiert. Diese Operation folgt den klassischen Reflexionsgesetzen der Physik: Der Einfallswinkel entspricht dem Ausfallswinkel, der Betrag bleibt erhalten, und die Reflexion erfolgt bezüglich der Normalen zur spiegelnden Oberfläche. Die mathematische Eleganz der Formel r = v - 2(v·n̂)n̂ vereint Vektoralgebra mit geometrischer Anschauung und findet breite Anwendung von der Optik bis zur Computergrafik.

Zusammenfassung

Die Vektor-Spiegelung verbindet mathematische Präzision mit physikalischer Intuition. Die kompakte Reflexionsformel kodiert die fundamentalen Gesetze der Reflexion und ermöglicht präzise Berechnungen in beliebigen Dimensionen. Von der Simulation von Lichtreflexion über Kollisionsdetektion bis zur realistischen 3D-Darstellung bildet die Vektor-Spiegelung das mathematische Fundament für zahlreiche technische Anwendungen. Sie zeigt, wie elegante algebraische Formeln komplexe physikalische Phänomene exakt beschreiben und computergestützt berechenbar machen können.

Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?

Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt