Vektor Skalarprodukt berechnen

Rechner und Formel zur Berechnung des Skalarprodukts (Dot Product) zweier Vektoren

Vektor Skalarprodukt Rechner

Vektor Skalarprodukt (Dot Product)

Berechnet das Skalarprodukt v₁ · v₂ zweier Vektoren als reelle Zahl (Skalar): x₁×x₂ + y₁×y₂ + z₁×z₂

Resultat ist ein Skalar (reelle Zahl)

Das Skalarprodukt erzeugt im Gegensatz zu anderen Vektoroperationen keine Vektor, sondern eine reelle Zahl.

Wählen Sie die Vektordimension
Erster Vektor (v₁)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Zweiter Vektor (v₂)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Skalarprodukt-Ergebnis
Skalarprodukt (v₁ · v₂):
Komponenten werden paarweise multipliziert und addiert: v₁ · v₂ = x₁×x₂ + y₁×y₂ + ...

Skalarprodukt Info

Skalarprodukt Eigenschaften

Ergebnis: Reelle Zahl (kein Vektor!)

Skalar Kommutativ v₁ · v₂

Kommutativ: v₁ · v₂ = v₂ · v₁
Orthogonal: v₁ ⊥ v₂ ⟺ v₁ · v₂ = 0

Beispiele
[1, 2, 3] · [4, 5, 6] = 32
[1, 0] · [0, 1] = 0 (orthogonal)
[2, 3] · [2, 3] = 13 (Betrag²)

Formeln für das Skalarprodukt

Grundformel
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot b_i\]

Allgemeine Summenformel

2D Skalarprodukt
\[\left[\matrix{a\\b}\right] \cdot \left[\matrix{c\\d}\right] = ac + bd\]

Zweidimensionale Vektoren

3D Skalarprodukt
\[\left[\matrix{a\\b\\c}\right] \cdot \left[\matrix{x\\y\\z}\right] = ax + by + cz\]

Dreidimensionale Vektoren

Geometrische Form
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]

Mit Winkel zwischen den Vektoren

Rechenbeispiele für das Skalarprodukt

Beispiel 1: 3D Skalarprodukt
[1, 2, 3] · [4, 5, 6]
\[\begin{aligned} \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} &= 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 \\ &= 4 + 10 + 18 = 32 \end{aligned}\]

Ergebnis: 32 (Skalar)

Beispiel 2: 2D Skalarprodukt
[1, 2] · [4, 5]
\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{w} &= 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \\ &= 4 + 10 = 14 \end{aligned}\]

Ergebnis: 14 (Skalar)

Schritt-für-Schritt Berechnung
1. Multiplizieren: a₁×b₁
Entsprechende Komponenten
2. Addieren: Σ(aᵢ×bᵢ)
Alle Produkte summieren
3. Ergebnis: Skalar
Reelle Zahl, kein Vektor

Das Skalarprodukt erzeugt immer eine reelle Zahl

Geometrische Interpretationen
v · v = |v|²

• Skalarprodukt mit sich selbst

• Ergibt Betrag im Quadrat

• Immer positiv

v₁ · v₂ = 0

• Vektoren orthogonal

• Stehen senkrecht zueinander

• θ = 90°

v₁ · v₂ > 0

• Spitzer Winkel

• θ < 90°

• Gleiche Richtungstendenz

v₁ · v₂ < 0

• Stumpfer Winkel

• θ > 90°

• Entgegengesetzte Tendenz

Anwendungen des Skalarprodukts

Das Skalarprodukt ist fundamental in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Informatik:

Computer Graphics & 3D
  • Beleuchtungsberechnungen (Diffuse/Specular)
  • Winkel zwischen Vektoren bestimmen
  • Backface Culling und Sichtbarkeit
  • Vektor-Projektionen berechnen
Physik & Mechanik
  • Arbeit: W = F · s (Kraft × Weg)
  • Orthogonalitätsprüfungen
  • Leistung und Energieberechnungen
  • Winkel zwischen Kraftvektoren
Machine Learning
  • Cosine-Similarity Berechnungen
  • Neuronale Netze: Gewichtete Summen
  • Feature-Vergleiche und Ähnlichkeit
  • Gradient-Berechnungen
Mathematik & Statistik
  • Korrelation und Kovarianz
  • Lineare Algebra: Orthogonale Basen
  • Projektionen und Approximationen
  • Fourier-Transformationen

Skalarprodukt: Von Vektoren zum Skalar

Das Skalarprodukt ist eine fundamentale Operation der linearen Algebra, die zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnet. Diese scheinbar einfache Operation - entsprechende Komponenten multiplizieren und addieren - birgt tiefe geometrische Bedeutung. Sie misst sowohl die Ähnlichkeit der Richtungen zweier Vektoren als auch ihre relativen Längen. Von der Orthogonalitätsprüfung über Winkelberechnungen bis zur modernen Datenwissenschaft bleibt das Skalarprodukt ein unverzichtbares Werkzeug zur quantitativen Analyse von Vektorbeziehungen.

Zusammenfassung

Das Skalarprodukt vereint rechnerische Einfachheit mit geometrischer Tiefe. Die intuitive Berechnung - multiplizieren und addieren - offenbart fundamentale Beziehungen zwischen Vektoren: Orthogonalität bei Null, Ähnlichkeit bei positiven Werten, Gegensätzlichkeit bei negativen. Von der 3D-Grafik über physikalische Simulationen bis zum maschinellen Lernen ermöglicht das Skalarprodukt präzise Quantifizierung von Vektorbeziehungen. Es zeigt, wie elegante mathematische Operationen komplexe räumliche und abstrakte Zusammenhänge messbar und nutzbar machen.

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Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt