Vektor Distanz berechnen

Rechner und Formel zur Berechnung der euklidischen Distanz zwischen zwei Vektoren

Vektor Distanz Rechner

Euklidische Distanz zwischen zwei Punkten

Berechnet die euklidische Distanz zwischen zwei Vektoren durch Differenzberechnung: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]

Wählen Sie die Vektordimension
Ebene
Raum
vier Koordinaten
Erster Punkt (P₁)
X-Position
Y-Position
Z-Position
W-Position
Zweiter Punkt (P₂)
X-Position
Y-Position
Z-Position
W-Position
Distanzergebnis
Distanz d:
Berechnung: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]

Vektor Distanz Info

Distanz Eigenschaften

Symmetrisch: d(A,B) = d(B,A)

d ≥ 0 Dreiecksungleichung Euklidisch

Geometrisch: Kürzester Weg zwischen Punkten
Formel: Differenzenquadrate summiert und gewurzelt

Beispiele
d([0,0], [3,4]) = √(3²+4²) = 5
d([1,2,3], [4,6,8]) = √(3²+4²+5²) = √50
d([0,0,0], [0,0,0]) = 0 (gleiche Punkte)

Formeln für Vektor Distanz

Allgemeine Formel
\[d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_{2i} - p_{1i})^2}\]

n-dimensionale euklidische Metrik

2D Distanz
\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Euklidische Distanz in der Ebene

3D Distanz
\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\]

Räumliche euklidische Distanz

4D Distanz
\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2 + (w_2-w_1)^2}\]

Höherdimensionale Distanz

Rechenbeispiele für Vektor Distanz

Beispiel 1: 2D Distanz
P₁ = (0, 0), P₂ = (3, 4)
\[d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Klassisches 3-4-5 Dreieck

Beispiel 2: 3D Distanz
P₁ = (0, -2, 7), P₂ = (8, 4, 3)
\[\begin{aligned} d &= \sqrt{(8-0)^2 + (4-(-2))^2 + (3-7)^2} \\ &= \sqrt{64 + 36 + 16} = \sqrt{116} ≈ 10.77 \end{aligned}\]

Räumliche Distanzberechnung

Schritt-für-Schritt Berechnung
Differenzen bilden
Δx, Δy, Δz
Quadrieren
(Δx)², (Δy)², (Δz)²
Summieren & Wurzeln
√(Σ Δᵢ²)

Systematisches Vorgehen für alle Dimensionen

Anwendungen der Vektor Distanz

Die euklidische Distanz ist fundamental für viele Bereiche der Wissenschaft und Technik:

Navigation & GPS
  • Entfernungsberechnungen zwischen Koordinaten
  • Routenoptimierung und Pfadplanung
  • Geocaching und Standortdienste
  • Luftlinienentfernungen
Machine Learning
  • K-Nearest-Neighbor Algorithmus
  • Clustering (K-Means, hierarchisch)
  • Ähnlichkeitsmessungen
  • Feature Space Distanzen
Computer Graphics
  • 3D-Objektabstände und Kollisionserkennung
  • Ray-Tracing und Beleuchtung
  • Level-of-Detail Berechnungen
  • Kamera- und Sichtdistanzen
Wissenschaft
  • Physik: Teilchenabstände und Kraftberechnungen
  • Astronomie: Entfernungen im Weltall
  • Chemie: Molekulare Abstände
  • Biologie: Genetische Distanzen

Vektor Distanz: Die euklidische Metrik

Die euklidische Distanz ist die natürliche Verallgemeinerung des Abstandes zwischen zwei Punkten auf beliebige Dimensionen. Diese fundamentale Metrik bildet die Grundlage für unzählige Anwendungen - von der GPS-Navigation über maschinelles Lernen bis zur wissenschaftlichen Forschung. Sie erfüllt alle Eigenschaften einer mathematischen Metrik und entspricht unserer intuitiven Vorstellung von "Entfernung".

Zusammenfassung

Die Vektor Distanz verbindet geometrische Anschauung mit praktischer Anwendbarkeit. Die pythagoräische Formel - Quadratwurzel der Differenzenquadrate - liefert exakte Entfernungsmessungen in beliebigen Dimensionen. Von der 2D-Navigation über 3D-Grafik bis zur hochdimensionalen Datenanalyse bleibt die euklidische Distanz das universelle Maß für Ähnlichkeit und Nähe. Sie zeigt, wie mathematische Eleganz praktische Probleme in Wissenschaft und Technik löst.

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Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt