Vektor Betrag berechnen

Rechner und Formel zur Berechnung der Länge (Betrag) eines Vektors

Vektor Betrag Rechner

Vektorlänge nach Pythagoras

Berechnet die Länge (Betrag) eines Vektors durch pythagoräische Berechnung: |v| = √(x² + y² + z²)

Wählen Sie die Vektordimension
Ebene
Raum
vier Komponenten
Vektorkomponenten eingeben
X-Wert des Vektors
Y-Wert des Vektors
Z-Wert des Vektors
W-Wert des Vektors

Vektorlänge (Betrag)
Betrag |v|:
Berechnung: |v| = √(x² + y² + z²)

Vektor Betrag Info

Betrag Eigenschaften

Betrag: Immer positiv oder null

|v| ≥ 0 Satz v. Pythagoras Länge

Geometrisch: Abstand vom Ursprung
Formel: Quadratwurzel der Komponentenquadrate

Beispiele
|[3, 4]| = √(3² + 4²) = 5
|[1, 2, 2]| = √(1² + 2² + 2²) = 3
|[0, 0, 0]| = 0 (Nullvektor)

Formeln für Vektorbetrag

2D Vektorbetrag
\[\left|\left[\matrix{a\\b}\right]\right| = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Satz des Pythagoras in der Ebene

3D Vektorbetrag
\[\left|\left[\matrix{a\\b\\c}\right]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

Erweiterung auf den Raum

4D Vektorbetrag
\[\left|\left[\matrix{a\\b\\c\\d}\right]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\]

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Allgemeine Formel
\[|\vec{v}| = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}\]

n-dimensionale Euklidische Norm

Rechenbeispiele für Vektorbetrag

Beispiel 1: 2D Betrag
v = [3, 4]
\[|v| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Klassisches 3-4-5 Dreieck

Beispiel 2: 3D Betrag
v = [1, 2, 2]
\[|v| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\]

Räumlicher Vektor

Geometrische Interpretation
Abstand zum Ursprung
Vektorlänge
Euklidische Norm

Der Betrag gibt die geometrische Länge des Vektors an

Visuelle Darstellung (2D)
Vektorbetrag Visualisierung

Der Betrag entspricht der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Anwendungen des Vektorbetrags

Der Vektorbetrag findet Anwendung in vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen:

Physik & Mechanik
  • Geschwindigkeitsbeträge und Beschleunigung
  • Kraftbeträge und Impulse
  • Magnetfeldstärken
  • Wellenvektoren und Frequenzen
Computer Graphics
  • Normalisierung von Vektoren
  • Distanzberechnungen
  • Beleuchtungsmodelle
  • Kollisionserkennung
Navigation & GPS
  • Entfernungsberechnungen
  • Geschwindigkeitsmessungen
  • Routenoptimierung
  • Koordinatenabstände
Datenanalyse
  • Euklidische Distanzen
  • Clustering-Algorithmen
  • Ähnlichkeitsmessungen
  • Machine Learning Metriken

Vektorbetrag: Die Euklidische Norm

Der Vektorbetrag oder die Euklidische Norm ist die direkte Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dimensionen. Diese fundamentale Operation verbindet algebraische Berechnungen mit geometrischen Distanzen und bildet die Grundlage für Normierungen, Distanzmessungen und Optimierungsverfahren in der Mathematik und Informatik.

Zusammenfassung

Der Vektorbetrag vereint geometrische Anschauung mit algebraischer Präzision. Die pythagoräische Formel - Quadratwurzel der Komponentenquadrate - ermöglicht exakte Längenberechnungen in beliebigen Dimensionen. Von der 2D-Grafik über 3D-Navigation bis zur hochdimensionalen Datenanalyse bleibt der Vektorbetrag ein unverzichtbares Werkzeug. Er zeigt, wie der klassische Satz des Pythagoras die Grundlage für moderne wissenschaftliche und technische Anwendungen bildet.

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Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt