Symmetrisches Trapez berechnen

Rechner und Formeln zum symmetrischen (gleichschenkligen) Trapez

Symmetrisches Trapez Rechner

Symmetrisches Trapez

Ein symmetrisches (gleichschenkliges) Trapez hat gleich lange Schenkel (b = d) und ist symmetrisch zur Mittelsenkrechten. Berechnung über Seiten und Höhe oder Seiten und Winkel möglich.

Berechnungsmethode wählen
Wählen Sie zwischen Höhen- oder Winkelberechnung
Parameter eingeben
Abstand zwischen den parallelen Seiten
Erste parallele Seite
Zweite parallele Seite
Berechnungsergebnisse
Seite a:
Schenkel b/d:
Seite c:
Diagonale e:
Höhe h:
Mittlere Breite m:
Fläche A:
Umfang P:
Winkel α/β:
Winkel γ/δ:
Überstand x:

Symmetrisches Trapez

Das Diagramm zeigt ein symmetrisches Trapez mit gleich langen Schenkeln (b = d).
Die Symmetrieachse verläuft senkrecht durch die Mitte der parallelen Seiten.

Symmetrisches Trapez

Eigenschaften des symmetrischen Trapezes

Ein symmetrisches (gleichschenkliges) Trapez besitzt besondere geometrische Eigenschaften:

  • Gleiche Schenkel: b = d (schräge Seiten sind gleich lang)
  • Symmetrieachse: Senkrecht durch die Mitte der Parallelseiten
  • Gleiche Basiswinkel: α = β und γ = δ
  • Gleiche Diagonalen: Beide Diagonalen sind gleich lang
  • Achsensymmetrie: Spiegelung an der Mittelsenkrechten
  • Besondere Formeln: Vereinfachte Berechnungen möglich

Formeln für das symmetrische Trapez

Seitenlängen
Seite a: \[a = \frac{2A}{h} - c = 2m - c\] Schenkel b = d: \[b = d = \frac{h}{\sin(\alpha)}\] Seite c: \[c = \frac{2A}{h} - a = 2m - a\]

Grundlegende Seitenberechnungen

Fläche und Umfang
Fläche: \[A = \frac{(a + c) \cdot h}{2} = m \cdot h\] Umfang: \[P = a + 2b + c\] Mittlere Breite: \[m = \frac{a + c}{2}\]

Da b = d vereinfacht sich der Umfang

Winkel
Basiswinkel: \[\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{h}{b}\right)\] Obere Winkel: \[\gamma = \delta = 180° - \alpha\]

Symmetrie: α = β und γ = δ

Diagonalen und Höhe
Diagonalen: \[e = f = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos(\beta)}\] Höhe: \[h = \frac{2A}{a + c} = b \sin(\alpha)\] Überstand: \[x = \sqrt{b^2 - h^2}\]

Beide Diagonalen sind gleich lang

Rechenbeispiel

Gegeben
Seite a = 7 Seite c = 5 Höhe h = 4

Gesucht: Alle Parameter des symmetrischen Trapezes

1. Mittlere Breite und Fläche
\[m = \frac{a + c}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6\] \[A = m \cdot h = 6 \cdot 4 = 24\]

Grundlegende Berechnungen

2. Schenkel über Überstand
\[x = \frac{|a - c|}{2} = \frac{|7 - 5|}{2} = 1\] \[b = d = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} ≈ 4.12\]

Berechnung der gleichen Schenkel

3. Winkel berechnen
\[\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{h}{b}\right) = \arcsin\left(\frac{4}{4.12}\right) ≈ 76.0°\] \[\gamma = \delta = 180° - 76.0° = 104.0°\]

Symmetrische Winkelpaarung

4. Umfang und Diagonalen
\[P = a + 2b + c = 7 + 2(4.12) + 5 = 20.24\] \[e = f ≈ 7.35\] (gleiche Diagonalen)
Symmetrisches Trapez vollständig berechnet

Alle Eigenschaften der Symmetrie erfüllt

Anwendungen des symmetrischen Trapezes

Symmetrische Trapeze finden aufgrund ihrer besonderen Eigenschaften häufig Verwendung:

Architektur & Design
  • Dachkonstruktionen mit gleichmäßiger Neigung
  • Symmetrische Fenster und Türöffnungen
  • Brückenbögen und Gewölbe
  • Treppengeländer und Balustraden
Technik & Produktion
  • Getriebezahnräder mit symmetrischen Profilen
  • Keilriemenscheiben und Riementriebe
  • Strömungskanäle mit optimaler Verteilung
  • Werkzeugschneiden und Fräsprofile

Das symmetrische Trapez in der Geometrie

Zum Berechnen des symmetrischen Trapezes (auch gleichschenkliges Trapez genannt) geben Sie entweder die Seiten a und c sowie die Höhe oder die Seiten a und d sowie den Winkel Alpha ein. Das symmetrische Trapez ist ein spezieller Fall des allgemeinen Trapezes mit besonderen Symmetrieeigenschaften.

Die Gleichheit der Schenkel (b = d) führt zu vereinfachten Berechnungsformeln und besonderen geometrischen Eigenschaften wie gleichen Diagonalen und symmetrischen Winkeln. Diese Eigenschaften machen das symmetrische Trapez zu einer wichtigen geometrischen Form in Architektur, Technik und Design.

Für weitere Trapez-Berechnungen stehen Ihnen verschiedene spezialisierte Rechner zur Verfügung, die auf die jeweiligen Anwendungsfälle optimiert sind.

Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?


Weitere Trapez Funktionen

Unsymmetrisches Trapez  •  Symmetrisches Trapez  •  Rechtwinkliges Trapez  •  Dreigleichseitiges Trapez  •  Trapez Flächeninhalt  •  Trapez Diagonale e aus Seiten und Höhe  •  Trapez Diagonale e aus Seiten und Winkel  •  Trapez Diagonale f aus Seiten und Höhe  •  Trapez Diagonale f aus Seiten und Winkel  •  Trapez Höhe aus Seite und Winkel  •  Trapez Höhe aus Seiten und Flächeninhalt  •  Trapez Winkel aus Seite und Höhe  •